開成中学校２００２年算数第１問（４）（解答・解説）
ＢＣの長さは不要です。
ＢＣとＡＤが交わった点をＦとします。
直角二等辺三角形ＤＡＢとＥＡＣは相似（相似比はＡＢ：ＡＣ＝４：３）だから、ＡＤ＝ＢＤ＝[２８]とすると、ＡＥ＝ＥＣ＝[２１]となります。 ←ＡＤとＡＥの差が４＋３＝７の倍数となるようにおきました。
三角形ＦＢＤと三角形ＦＣＥのちょうちょ相似（相似比はＢＤ：ＣＥ＝ＡＢ：ＡＣ＝４：３、面積比は（４×４）：（３×３）＝１６：９）に着目すると、ＤＦ＝[４]、ＥＦ＝[３]となります。
三角形ＢＤＦは、三角形ＤＡＢと底辺が共通（ＢＤ）で、高さがＤＦ/ＡＤ＝[４]/[２８]＝１/７倍だから、面積も１/７倍となります。
したがって、求める面積の和は
４×（４×１/２）×１/２×１/７×（１６＋９）/１６
＝２５/２８cm2
となります。
因みに、ラ・サール高校で同じような問題が出されています（ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（２））。
ラ・サール高校の問題の解説では、直角三角形を２個組み合わせた二等辺三角形を作出して解いていますが、この開成中学校の問題と同様の補助線（垂線）を引いて解くこともできるので、ぜひやってみましょう。