京都大学２０２６年理系数学第６問・文系数学第５問（解答・解説）
すべての場合はｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）/（３×２×１）＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）/６（＝Ｎとします）通りあります。 ←組合せですね。
一番大きな番号Ｘがｋ（３以上ｎ以下の整数）となるのは、番号ｋの札１枚と番号１から（ｋ−１）までの札のうちの２枚を取り出す場合だから、（ｋー１）×（ｋ−２）/（２×１）＝（ｋー１）（ｋ−２）/２通りあります。 ←わかりにくければ、具体的なｋの値で考えてみるとよいでしょう。
Ｘの期待値（平均値）は
｛３×（３−１）×（３−２）/２＋４×（４−１）×（４−２）/２＋５×（５−１）×（５−２）/２＋・・・＋ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）/２｝×１/Ｎ
＝｛３×２×１＋４×３×２＋５×４×３＋・・・＋ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）｝×１/（Ｎ×２） ←分配法則の逆を利用しました。
｛ ｝の中の計算が小学生には若干難しいですが、今から２０年以上前に洛星中学校で同じような計算（洛星中学校２００５年後期算数２第１問）が誘導付きで問われています。
洛星中の問題と同様の処理を行います。
３×２×１＝（４×３×２×１−３×２×１×０）×１/４
４×３×２＝（５×４×３×２−４×３×２×１）×１/４
５×４×３＝（６×５×４×３−５×４×３×２）×１/４
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）＝（（ｎ＋１）×ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）−ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×（ｎ−３））×１/４
これらの式を足すと、
３×２×１＋４×３×２＋５×４×３＋・・・＋ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）＝（ｎ＋１）×ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×１/４
となり、結局、Ｘの期待値は３×（ｎ＋１）/４となります。 ←（ｎ＋１）×ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×１/４を｛ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）/６｝×２で割るだけの単純計算ですが、小学生には若干難しいかもしれません。ただ、（ｎ＋１）×ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×１/４：｛ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）/６｝×２＝（ｎ＋１）/４：１/３＝３×（ｎ＋１）：４として、比の値を求めればいいだけの話です。