慶應義塾中等部２００７年算数第６問（解答・解説）
１段の階段の昇り方は明らかに１通りあります。 ←規則性の問題では、小さな数から順に調べることが大切です。
２段の階段の昇り方は、１−１、２の２通りあります。
３段の階段の昇り方は、問題文より、４通りあります。
（１）
４段の階段の昇り方を考えます。
逆から考えます。
４段目に到達する直前を考えると、１段目から３段昇る場合（１通りですね）、２段目から２段昇る場合（２通りですね）、３段目から１段昇る場合（４通りですね）があるので、全部で
１＋２＋４
＝７通り
あります。
（２）
５段の階段の昇り方を考えます。
５段目に到達する直前を考えると、２段目から３段昇る場合（２通りですね）、３段目から２段昇る場合（４通りですね）、４段目から１段昇る場合（７通りですね）があるので、全部で
２＋４＋７
＝１３通り
あります。
ここで、少し一般化してみましょう。
○（○は４以上）段目に来るのは、（○−１）段目から１段昇る場合と（○−２）段目から２段昇る場合と（○−３）段目から３段昇る場合があるから、○段目の昇り方＝（○−１）段目の昇り方＋（○−２）段目の昇り方＋（○−３）段目の昇り方となります。
言い換えれば、ある段までの昇り方は、直前の３段の昇り方の合計になっていますね。 ←トリボナッチ数列と呼ばれる規則性です。
あとは、表を書いていけば機械的に処理できるでしょう。
１段 １
２段 ２
３段 ４
４段 ７
５段 １３
６段 ２４
７段 ４４
８段 ８１
９段 １４９
１０段 ２７４
したがって、１０段の階段の昇り方は２７４通りあります。
一般化の部分については、次のように考えることもできます。
○段目に昇る場合としては、最初に１段昇る場合（残りの（○−１）段の昇り方を考えればいいですね）と最初に２段昇る場合（残りの（○−２）段の昇り方を考えればいいですね）と最初に３段昇る場合（残りの（○−３）段の昇り方を考えればいいですね）があるから、○段目の昇り方＝（○−１）段目の昇り方＋（○−２）段目の昇り方＋（○−３）段目の昇り方となります。 ←最初のところで場合分けします。
なお、本問で、３段の昇り方がない場合、フィボナッチ数列の問題となります。
慶應義塾中等部では、フィボナッチ数列の問題も出題されています（２００８年第４問（下のフェリスの問題とほぼ同じです））。
ホームページでは、フィボナッチ数列の問題（灘中学校１９９４年算数２日目第１問、フェリス女学院中学校２０００年算数第４問）を取り上げているので、ぜひ解いてみましょう。
（参考）
フィボナッチ数列：最初の２項が０、１で、以後の項が直前の２項の和になっている数列
０，１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０，・・・
トリボナッチ数列：最初の３項が０、０、１で、以後の項が直前の３項の和になっている数列
０，０，１，１，２，４，７，１３，２４，４４，８１，１４９，２７４，５０４，・・・
テトラナッチ数列：最初の４項が０、０、０、１で、以後の項が直前の４項の和になっている数列
０，０，０，１，１，２，４，８，１５，２９，５６，１０８，２０８，４０１，７７３，・・・