四天王寺中学校２０１２年算数第５問（解答・解説）
（１）
各桁（けた）には０、１、４の３種類の数字しか現れていないので、３進法の問題ですね。
ただし、０、１、２の３種類の数字しか現れない普通の３進法とは微妙に違います。
普通の３進法 ０ １ ２
本問の３進法 ０ １ ４
１０進法の３０を本問の３進法になおす問題です。
３）３０
３）１０・・・０↑
３） ３・・・１↑
１・・・０↑
→→→→→
１０進法の３０を普通の３進法になおすと１０１０になります。
２が登場していれば、それを４に変換する必要がありますが、この問題はたまたま２が登場しないので、答えは１０１０となります。
（２）
例えば、１桁の整数４を０００４、２桁の整数１０を００１０というように４桁のデジタル表示で考えます。
各位は０、１、４の３通りあり、００００は含まれないから、整数は全部で
３×３×３×３−１ ←あえて数えすぎて、後で調整しました。
＝８０個
あります。
（３）
４桁の整数は、千の位が１か４の２通りあり、それ以外の各位は０か１か４の３通りあるから、全部で
２×３×３×３
＝５４個
あります。
千の位の平均は（１＋４）/２＝５/２、それ以外の各位の平均は（０＋１＋４）/３＝５/３となるから、４桁の整数の平均は
５/２×１０００＋５/３×１００＋５/３×１０＋５/３×１
＝２５００＋５/３×（１００＋１０＋１） ←分配法則の逆を利用しました。
＝２５００＋１８５ ←１１１＝３×３７を利用して約分しました。
＝２６８５
となるから、４桁の整数の和は
２６８５×５４ ←総和＝平均×個数
＝１４４９９０
となります。