東海中学校２０２５年算数第７問（解答・解説）
（解法１）
斜めの正方形・斜めの二等辺三角形があるときの処理方法で解きます。
図のように、二等辺三角形を長方形の中にはめ込みます。
ＡＦの長さは、ＢＣの長さの半分、つまり８/２＝４cmとなり、ＤＨの長さは、ＡＦの長さとＢＣの長さの平均、つまり（４＋８）/２＝６cmとなり、ＤＧの長さは、三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＧのピラミッド相似に着目すると、８/２＝４cmとなります。
また、図の●はすべて４５度となるから、三角形ＣＦＤは直角二等辺三角形となり、ＣＦの長さは、ＤＨの長さの２倍、つまり６×２＝１２cmとなり、三角形ＣＦＤの面積は１２×６×１/２＝３６cm2となります。
三角形ＡＥＦと三角形ＧＥＤは合同だから、ＦＥ＝ＤＥとなり、三角形ＣＤＥの面積は三角形ＣＦＤの面積の半分、つまり１８cm2となります。
（解法２）
いわゆるかたまりの相似と二等辺三角形の典型的な補助線（線対称の軸）を利用して解きます。
図のように、ＢＣと平行な直線ＤＦを引きます。
ピラミッド相似に着目すると、ＤＦの長さはＢＣの長さの半分、つまり８/２＝４cmとなります。
また、平行線の錯角が等しいことなどに着目すると、図の●はいずれも４５度となりますね。
さらに、図のような補助線ＥＧ、ＤＨを引きます。 ←三角形の高さを求めるために底辺と垂直な線を引きました。
上半分の図形は、もとの図形からＤＥを消し、ＤＨを引いた図形と相似（相似比は１：２）となります。
ここで、二等辺三角形ＡＤＦを垂直に二等分する補助線ＡＩを引くと、ＤＩの長さは４/２＝２cmとなります。
三角形ＡＤＩと三角形ＤＢＨは合同だから、ＢＨ＝ＤＩ＝２cmとなり、ＨＣ＝８−２＝６cmとなります。
直角二等辺三角形ＤＨＣに着目すると、ＤＨ＝ＨＣ＝６cmとなり、かたまりの相似に着目すると、ＥＧ＝ＤＨ×１/２＝６/２＝３cmとなります。
したがって、三角形ＣＤＥは４×（３＋６）×１/２＝１８cm2となります。
