筑波大学附属駒場中学校２０２６年算数第２問（解答・解説）
３年前に同じような問題が出されています（筑波大学附属駒場中学校２０２３年算数第３問）。
（１）
同じ長さの辺と等しい角に着目して、この三角形に三角形ＡＢＣを重ね合わせます。
左上の黄色の三角形は二等辺三角形となるから、□＝１５となります。
（２）
（１）の三角形の内部に図のように正三角形をはめ込みます。 ←やろうとしていることは、（１）と同じで、（１）と（２）の図形を重ね合わせようとしています。ただ、角度の等しいところを重ね合わせても、辺の長さが等しいかどうかわからないので、まず、（２）の三角形と３つの角度が等しい三角形（とりあえず相似な三角形）を作り出すため、正三角形をはめ込んだわけです。
すると、黄緑色の三角形は（２）の図形となります。 ←合同条件を満たしていますね。
したがって、□＝８となります。
（３）
６０＋４０＝１００°、１５cmに着目し、（３）の図形を１５/２３倍に縮めたものと（１）の図形を図のように組み合わせて三角形ＰＱＲを作り出します。
角ＱＰＲ＝１８０−（４０＋１０＋６０）＝７０°となり、角ＰＱＲと等しくなるから、ＰＲ＝ＱＲ＝２３cmとなります。
ここで、上で作出した図形に、（２）の図形を組み合わせます。
角ＴＳＵ＝角ＲＱＵ＝４０°となる（錯角が等しい）から、ＴＳとＲＱは平行となります。
三角形ＴＳＵと三角形ＲＱＵのちょうちょ相似（相似比はＴＳ：ＲＱ＝８：２３）に着目すると、ＴＵ＝１５×８/２３＝１２０/２３cmとなります。
したがって、ＰＴの長さが２３−１５−１２０/２３＝６４/２３cmとなるから、□＝６４/２３×２３/１５＝６４/１５となります。 ←最初に縮小したものを元に戻すのを忘れないようにしましょう。
（別解）
（２）の図形の中に（１）の黄色の二等辺三角形が含まれていることに着目して解きます。
（２）の三角形に（１）の黄色の二等辺三角形を重ね合わせます。
紫色の三角形は三角形ＡＢＣと相似な三角形となるから、残り２辺の長さ（黄色の二等辺二等辺三角形の残りの辺の長さ）は８×１５/２３＝１２０/２３cmとなります。 ←先ほどのＵＴの長さですね。
ここから、先ほどの解説の図を作り出して解くこともできますが、ここでは、二等辺三角形の問題における定石的手法で解いてみます。 ←最難関中学校の入試問題や算数オリンピックの問題でよく利用できる手法で、上で紹介した３年前の筑駒の入試問題の解説でも利用しています。
黄色の二等辺三角形を線対称の軸で二等分して合同な２つの直角三角形に分けます。 ←（３）の三角形に登場する。１０°の角を作り出しました。
この直角三角形の辺の比は、大：小＝１５：（１２０/２３×１/２）＝２３：４となります。
（３）の三角形にこの直角三角形と相似な三角形（オレンジ色の三角形）を組み合わせて、さらにオレンジ色の三角形と合同な三角形を組み合わせます。
すると、三角形ＨＩＪは黄色の三角形を二等分して作った三角形と相似な三角形となります。
ＩＫ＝ＫＬ＝[１６]とすると、ＨＩ＝[１６]×２３/４＝[４×２３]となり、ＩＪ＝[４×２３]×２３/４＝[５２９]となります。
[５２９]−[１６]×２＝[４９７]が２３cmに相当するから、□（＝ＨＬ＝ＨＩ）＝２３×[４×２３]/[４９７]＝２１１６/４９７となります。 ←近似値を使った問題なので、解き方によって答えが異なることがあります。
