東大寺学園中学校２０２６年算数第３問（解答・解説）
１、２、・・・、１０を順に足していったときの一の位の数（＜１＞～＜１０＞）は次のようになります。
１、３、６、０、５、１、８、６、５、５
この後は、＜１０＞に１１、１２、・・・、２０を順に足していったときの一の位の数を求めるのですが、１、２、・・・、１０を足しても同じことで、＜１１＞が５＋１＝６で、＜１＞より５大きくなるので、＜１１＞、＜１２＞、・・・、＜２０＞は、それぞれ＜１＞、＜２＞、・・・＜１０＞より５大きくなります（ただし、１０以上の場合はその一の位を考えます）。
６、８、１、５、０、６、３、１、０、０
この後も同様の作業をすることになりますが、先ほどと同様に考えると、＜２１＞、＜２２＞、・・・、＜３０＞は、それぞれ＜１１＞、＜１２＞、・・・＜２０＞より５大きくなり（ただし、１０以上の場合はその一の位を考えます）、結局、それぞれ＜１＞、＜２＞、・・・＜１０＞と等しくなり、以下同様の繰り返し（周期２０の繰り返し）となります。
これで問題を解く準備が整いました。
（１）
＜Ａ＞のとりうる値を小さい順に並べると、０、１、３、５、６、８となります。
（２）
２、２＋２０＝２２、２２＋２０＝４２、４２＋２０＝６２、１７、１７＋２０＝３７、３７＋２０＝５７、５７＋２０＝７７を小さい順に並べたもの、つまり、２、１７、２２、３７、４２、５７、６２、７７が答えとなります。
（３）
（２）とほとんど同じ問題で、余計な作業が増えただけです。
①
１周期２０個の中に＜Ａ＞＝５となるようなＡは４個あります（１０個ずつセットにした場合、奇数セット目には３個、偶数セット目には１個あります）。
２５０÷２０＝１２・・・１０だから、全部で４×１２＋３＝５１個あります。 ←偶数セット目と奇数セット目に分けて、３×１３＋１×１２＝５１個としてもよいでしょう。
②
以下の４つの和を全部足すだけです。
５＋２５＋・・・＋２４５（初項（最初の数）が５で、公差２０の等差数列１３個の和）
９＋２９＋・・・＋２４９（初項（最初の数）が９で、公差２０の等差数列１３個の和）
１０＋３０＋・・・＋２５０（初項（最初の数）が１０で、公差２０の等差数列１３個の和）
１４＋３４＋・・・＋２３４（初項（最初の数）が１４で、公差２０の等差数列１２個の和）
求める和は
（３８＋９９８）×１３×１/２－２５４ ←個数を１３個に揃えるために４つ目の和に２５４を加え、まとめて等差数列の和の公式を利用し、その後２５４を引きました。３８というのは、５＋９＋１０＋１４で、９９８というのは、２４５＋２４９＋２５０＋２５４です。
＝５１８×１３－２５４
＝６４８０
となります。