渋谷教育学園幕張中学校２０２４年１次算数第４問（解答・解説）
（１）
一般に、円の弧の長さ（円周上の２点を円周にそってたどったときの長さ）が等しいとき、弦の長さ（円周上の２点の最短距離）も等しくなります。
弧の長さが〇＋△の弦の長さはすべて等しいから、図の青色の線の長さはすべて等しくなります。
また、弧の長さが△の弦の長さは等しいから、図の赤色の線の長さは等しくなります。
したがって、三角形ＡＣＤと三角形ＣＥＡは合同な二等辺三角形となります。
図形の線対称性（左右対称）から、ＢＥとＣＤは平行となります。
平行線における同位角が等しいことと二等辺三角形の底角が等しいことを利用すると、図の×印の角の大きさがすべて等しいことがわかります。
三角形ＡＣＤ（三角形ＣＥＡ）と三角形ＥＡＦは相似な二等辺三角形となるから、ＣＤ＝ＥＡ＝ＥＦ＝２cmとなります。
三角形ＡＦＧと三角形ＡＣＤは相似（相似比はＡＧ：ＡＤ＝１：４）だから、ＦＧ＝２×１/４＝１/２cmとなります。
（２）
三角形ＨＣＤと三角形ＨＥＧは相似（相似比はＣＤ：ＥＧ＝２：（２−１/２）＝４：３）だから、ＨＣ：ＨＥ＝４：３となります。
また、三角形ＩＣＤと三角形ＩＥＢは相似（相似比はＣＤ：ＥＢ＝２：（２＋２−１/２）＝４：７）だから、ＩＣ：ＩＥ＝４：７となります。
共通部分のＣＥに着目して比合わせを行います。
ＣＥ＝[７７]とすると、ＩＣ＝[７７]×４/（４＋７）＝[２８]、ＨＣ＝[７７]×４/（４＋３）＝[４４]となるから、ＨＩ：ＩＣ＝（[４４]−[２８]）：[２８]＝４：７となります。
（３）
計算が煩雑そうなので、いわゆる隣辺比（２つの三角形において、１つの角の大きさが同じまたは角の大きさの和が１８０度であるとき、三角形の面積比はその角をはさむ２辺の辺の比の積となる（底辺の比×高さの比と一致するからです）こと）をフル活用して解きます。
三角形ＡＦＧの面積：三角形ＨＥＧの面積
＝（ＡＧ×ＧＦ）：（ＧＥ：ＧＨ）
＝（１×１/２）：（３/２×３×３/（３＋４））
＝７：２７
＝７７：２９７ ←あとで得られる結果の数値を確認して比合わせしています。
となります。
また、
三角形ＨＥＧの面積：三角形ＢＩＥの面積
＝（ＧＥ×ＥＨ）：（ＢＥ×ＥＩ）
＝（３/２×（[７７]−[４４]）：（７/２×（[７７]−[２８]））
＝９９：３４３
＝２９７：１０２９
となります。
したがって、五角形ＦＧＨＩＪの面積は、三角形ＡＦＧの面積の
（１０２９−２９７×２）/７７
＝４３５/７７倍
となります。
