渋谷教育学園幕張中学校２０２３年１次算数第２問（解答・解説）
問題文に与えられた条件から、フィボナッチ数列の問題であることはすぐにわかりますね。
１番目の数を□、２番目の数を〇（□は０、〇は１桁の整数）とします。 ←実際には、□は０ですが、あえて具体的な計算をしません。
３番目以降を書き出していきます。
１番目 □
２番目 〇
３番目 □×１＋〇×１
４番目 □×１＋〇×２
５番目 □×２＋〇×３
６番目 □×３＋〇×５
７番目 □×５＋〇×８
８番目 □×８＋〇×１３
９番目 □×１３＋〇×２１
１０番目 □×２１＋〇×３４
１１番目 □×３４＋〇×５５
１２番目 □×５５＋〇×８９
１３番目 □×８９＋〇×１４４
１４番目 □×１４４＋〇×２３３
１５番目 □×２３３＋〇×３７７
１６番目 □×３７７＋〇×６１０＝□×３７０＋□×７＋〇×６１０→□×７
１７番目 □×６１０＋〇×９８７＝□×６１０＋〇×９８０＋〇×７→〇×７
□×３７０＋〇×６１０は１０で割り切れるから、１６番目の数の一の位の数は□×７の一の位の数と一致します。
また、□×６１０＋〇×９８０は１０で割り切れるから、１７番目の数の一の位の数は〇×７の一の位の数と一致します。
すると、１６番目から３０番目までは、上の１番目から１５番目までの数を７倍した数の一の位の数を考えればよく、以下１５個ごとに同様の繰り返しとなります。
１番目 ２番目 ・・・１５番目
↓×７ ↓×７ ・・・・・・・
１６番目 １７番目 ・・・３０番目
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
これで問題を解く準備が整いました。
（１）
１番目の数（□）は０だから、（△×１５＋１）番目（△＝０、１、２、・・・）の数は常に０ですね。
２番目の数（〇）が１のとき、先ほど書き出したものを見れば、２番目から１５番目の数の一の位の数が０とならないことは明らかだから、答えは１６となります。
（２）
２０２３÷１５＝１３４・・・１３だから、２０２３番目の数は１３５セット目の１３番目の数となります。
□に０、〇に１を入れたとき、１３番目の数は１４４となり、一の位の数は４となります。
１３番目の数の一の位の数が４のときに、それを７倍していったときの一の位の数がどうなるか考えていきます。
４
４×７＝８
４×７×７→８×７＝５６→６
４×７×７×７→６×７＝４２→２
４×７×７×７×７→２×７＝１４→４
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となり、４、８、６、２の４個の数の繰り返しになります。
１３５÷４
＝３３・・・３
だから、（１，２０２３）は、繰り返される数の３番目の数、つまり６となります。
与えられた条件から、（a,２０２３）＝１０−６＝４となります。
ここで、１を７倍していったときの一の位の数がどうなるか考えていきます。
１
１×７＝７
１×７×７→４９→９
１×７×７×７→９×７＝６３→３
１×７×７×７×７→３×７＝２１→１
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となり、１、７、９、３の４個の数字の繰り返しになります。
１を２、３、４、・・・、９倍していっても４個ごとに元に戻ることは変わりませんね。 ←７×７×７×７の一の位の数が１だから当たり前のことだから、１を７倍していったときの一の位の数を調べた作業は省略できます。
結局、（a,２０２３）＝４ということは、３セット目の１３番目が４ということにほかなりません。
７を２回かけた数の一の位の数が４となるものを見つけることになりますが、これは偶数しかないので、偶数だけ調べます。
０×７×７＝０×
２×７×７→８×
４×７×７→６×
６×７×７→４〇
８×７×７→２×
結局、１３番目の数（〇×１４４）の一の位の数が６となるものが答えとなります。
あとは、４をかけて一の位の数が６となる１桁の整数を探すだけですね。
４に１桁の整数をかけて調べつくすと、答えが４と９となることがすぐにわかりますね。
なお、上の解説では、一般に、◎で割った余りが☆と★の数の和と積を◎で割った余りがそれぞれ☆＋★と☆×★を◎で割った余りと一致することを利用していますが、このことは面積図を思い浮かべればすぐにわかることです。
上の解説からわかるように、フィボナッチ数列の一の位の数の周期は６０となります（１、７、７×７＝４９→９、７×７×７→９×７＝６３→３、７×７×７×７→３×７＝２１→１、・・・となり、（△×１５＋１）番目は常に０で、（△×１５＋２）番目（△＝０、１、２、・・・）は１、７、９、３の４個の数の繰り返しとなり、周期が１５×４＝６０個であることがわかり、あてもなく数を書き出すことが防げるわけです）。