洛南高校附属中学校２０２６年算数第７問（解答・解説）
３つの円の中心と点Ａをそれぞれ結びます。
三角形ＡＢＤと三角形ＥＢＤ、三角形ＡＢＣと三角形ＦＢＣ、三角形ＡＣＤと三角形ＧＣＤはそれぞれ合同となります。
このことから、三角形ＢＣＤの１つの内角は１２０/２＝６０度となり、三角形ＢＣＤは正三角形となります。
また、点Ｐ、Ｑ、Ｒのところで２本の直線がそれぞれ垂直で交わることとなり、ＡＰ：ＡＱ：ＡＲ＝ＡＥ：ＡＦ：ＡＧ＝１：２：５となります。 、←例えば、二等辺三角形ＢＡＥが二等分されることから明らかでしょう。
（１）
最初に述べたことから、三角形ＢＣＤの面積は六角形ＢＦＣＧＤＥの面積の半分、つまり６４cm2となります。
（２）
点Ａを通り、正三角形ＢＣＤの各辺と平行な直線を引くと、水色、ピンク色、灰色の三角形はすべて正三角形となり、その辺の比はＡＰ：ＡＱ：ＡＲ＝１：２：５となります。
水色の正三角形の一辺の長さを②とし、黄色、紫色、黄緑色の四角形が平行四辺形であることと正三角形の半分の三角定規に着眼して辺の比を書き込むと図のようになります。
したがって、ＢＰ：ＰＤ＝（④＋①）：（⑩＋①）＝５：１１となり、ＢＱ：ＱＣ＝（②＋②）（⑩＋②）＝４：１２、ＣＲ：ＲＤ＝（④＋⑤）：（②＋⑤）＝９：７となります。
（４）
３点Ｐ、Ｑ、Ｒの位置が確定すると、（３）を経由せずに解けるので、先に片づけてしまいます。
（円（あ）の面積）：（円（い）の面積）：（円（う）の面積）
＝（ＢＥ×ＢＥ）：（ＣＦ×ＣＦ）：（ＤＧ×ＤＧ）
＝三角形ＢＥＦの面積：三角形ＣＦＧの面積：三角形ＤＧＥの面積 ←３つの三角形は相似ですね。
＝（ＥＦ×ＥＦ）：（ＦＧ×ＦＧ）：（ＧＥ×ＧＥ）
＝（ＰＱ×ＰＱ）：（ＱＲ×ＱＲ）：（ＲＰ×ＲＰ） ←ピラミッド相似に着目する（中点連結定理（洛南の受験生なら知っているでしょう）を利用する）とＰＱ、ＱＲ、ＲＰはそれぞれＥＦ、ＦＧ、ＧＥの半分となりますね。
＝（ＰＱを一辺とする正三角形の面積）：（ＱＲを一辺とする正三角形の面積）：（ＲＰを一辺とする正三角形の面積）
＝（９×９－５×４×３）：（２１×２１－１２×９×３）：（１８×１８－７×１１×３） ←９×９の９は５＋４、２１×２１の２１は１２＋９、１８×１８の１８は７＋１１です。詳細については述べませんが、頭の中で大きな正三角形を作出して解いています（斜めの正三角形が登場する問題の処理）。
＝２１：１１７：９３
＝７：３９：３１
となります。
（３）
いわゆる隣辺比を利用して面積を求めます。
６４－６４×（５×４＋１２×９＋７×１１）/（１６×１６）
＝６４－２０５/４
＝５１/４cm2
となります。
因みに、洛南の誘導に従うと、三角形ＰＡＱなどの面積を埋め込んだ後、三角形ＰＱＲと三角形ＥＦＧが相似であることを利用して、上で述べた（４）と同様の処理をするのでしょうが、面倒なのでその処理は見送りました。