南山中学校女子部２０２５年算数第１０問（解答・解説）
与えられた三角形の中に現実にはあり得ない長さと角の組合せがありますが、そのことについては無視して解くことにします。
（１）
③、④、⑤の三角形は、２辺とその間の角がそれぞれ等しいから、合同です。
このうち③と④の一番長い辺（直角の向かいの辺（斜辺））をぴったり合わせると長方形になります（図１）。
なお、⑤の三角形は裏返さないと、③（④）の三角形と組み合わせても長方形を作ることができないことに注意が必要です。
（２）
様々な解法が考えられます。
ここでは、２つの解法を紹介します。
（解法１）
二等辺三角形②の頂角（等しい長さの２辺の間の角）は１８０－５０×２＝８０度となりますね。
１０＋５０＝６０になることに着目して、①と②の長さが★cmの辺をぴったり合わせます（図２）。
図のピンク色の線を引くと、黄色の三角形は、長さが２cmの２辺の間の角が１０＋５０＝６０度となるから、正三角形となります。
このことから、黄緑色の三角形も二等辺三角形となります。
したがって、角アの大きさは
６０＋｛１８０－（８０－６０）｝/２
＝１４０度
となります。
（解法２）
二等辺三角形②の頂角は８０度となりますね。
１０＋５０＝６０になることに着目して、①と②の長さが２cmの辺をぴったり合わせます（図３）。
図のピンク色の線を引くと、図形全体の三角形は、長さが★cmの２辺の間の角が１０＋５０＝６０度となるから、正三角形となります。
左上の小さな三角形と三角形①は、２辺とその間の角がそれぞれ等しくなるから、合同となります。
したがって、角アの大きさは
（３６０－８０）/２
＝１４０度
となります。
なお、図４のようなことをしてはいけません。
難しくなるだけですからね（実際、算数オリンピックで同じような構図の問題が出されています）。
（３）
様々な解法が考えられます。
ここでは、２つの解法を紹介します。
（解法１）
⑦の残り１つの角の大きさは１８０－（６０＋２４）＝９６度となり、⑥の残り１つの角の大きさは１８０－（６０＋３６）＝８４度となります。
９６＋８４＝１８０になることに着目して、⑦と⑥の長さが１．５cmの２辺をぴったり合わせて、三角形を作ります（図５）。
６０度に着目してオレンジ色の正三角形を作ると、錯角が等しいから、図の同じ記号を付けた直線は平行となります。
図形全体のピラミッド相似（相似比は１．５：２．５＝３：５）に着目すると、イにてはまる数は
１．５×５/（５－３）
＝１５/４
となります。
（解法２）
⑦の残り１つの角の大きさは１８０－（６０＋２４）＝９６度となり、⑥の残り１つの角の大きさは１８０－（６０＋３６）＝８４度となります。
９６＋８４＝１８０になることに着目して、⑦と⑥の長さが１．５cmの２辺を合わせて、三角形を作ります。 ←ここまでは（解法１）と同じです。
さらに、３６＋２４＝６０になることに着目して、完成した三角形とこの三角形を１８０度回転させた三角形を組み合わせて平行四辺形を作ります（図６）。
図のピンク色の線（延長した線）を引くと、ピンク色の三角形と水色の三角形を合わせた三角形は正三角形となります。
水色の三角形と紫色の台形（同位角が等しくなるから、平行な辺がありますね）の部分のピラミッド相似（相似比は１：１．５＝２：３）に着目すると、イにてはまる数は
２．５×３/２
＝１５/４
となります。
なお、２種類の三角形を１個ずつ組み合わせて、それ以外は使ってはいけないと明記されていないので、上のようにしても問題ないでしょう。
また、図６の色を付けた部分だけを作図して解く（この場合、一辺の一部を合わせることになりますが、一辺を合わせるという条件を一応満たしているかなと思います）こともできますが、きれいさを重視して上のようにしました。
（解法３）
等しい角度（６０度のところ）を重ね合わせて解きます（図７）。
２辺の一部をそれぞれ合わせることになりますが、一辺を合わせるという条件を一応満たしているかなと思います。
図のピンク色の線を引くと、赤色の三角形は、長さが１．５cmの２辺の間の角が６０度だ
から、正三角形となります。
このことと与えられた条件を利用すると、図の×の角度は２４度、〇の角度は３６度となります。
茶色と緑色を合わせた三角形と緑色と灰色を合わせた三角形は、２組の角がそれぞれ等しいから、相似（相似比は１：１．５＝２：３）となります。
したがって、イにてはまる数は
１．５＋１．５×３/２
＝１５/４
となります。
