灘中学校1992年算数2日目第1問(解答・解説)


灘中学校1992年算数2日目第1問(解答・解説)の図
図のように線を引くと、各三角形の1番長い辺(斜辺)の長さは、丸番号の数字が2増えるごとに2倍になる(逆から見ると、丸番号の数字が2個減るごとに1/2倍)ことがすぐにわかりますね。
@はDと比べて丸番号の数字が4減っているから、@の斜辺の長さはDの斜辺の長さの
  1/2×1/2
 =1/4倍
となります。
したがって、求める長さは
  8×1/4
 =2cm
となります。
(2)
(1)の図から、各三角形の面積は、丸番号が1増えるごとに2倍になることがすぐにわかりますね。
@の面積を[1]とすると、@からGまで並べたときの全体の面積は、
  [1]+[2]+[4]+[8]+[16]+[32]+[64]+[128]
 =[256]−[1] ←計算については(☆)を参照しましょう。
 =[255]
となります。
@の面積は
  2×1×1/2
 =1cm2
だから、@からGまで並べたときの全体の面積は、
  1×[255]/[1]
 =255cm2
となります。
(3)
  @ [1]
  A [2]
  B [4]
  C [8]
  D [16]
  E [32]
  F [64]
  G [128]
  H [256]
  I [512]
  J [1024] ←210(2を10個かけたもの)=1024ですね。
  K [2048]
H〜Kはそれぞれ@〜Cと重なります。 ←丸番号の数字が1増えるごとに45度回転しているから、360÷45=8回でちょうど1周します。2周目になると重なる部分が登場しますね。
@からKを並べたとき、三角形が重なっていない部分の面積は、
   [16]+[32]+[64]+[128] +[256]+[512]+[1024]+[2048]−([1]+[2]+[4]+[8])
 =[4096]−[16]−([16]−[1])
 =[4065]
に相当するから、
  1×[4065]/[1]
 =4065cm2
となります。
(☆)等比数列の和の求め方について
  S×2=  2+4+8+16+32+64+128
)S  =1+2+4+8+16+32+64    _
  S  =128−1=127
次のイメージ図も参照しましょう。
  ×○□□◎◎◎◎●●●●●●●●
  ☆☆□□◎◎◎◎●●●●●●●●
  △△△△◎◎◎◎●●●●●●●●
  △△△△◎◎◎◎●●●●●●●●
  ◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
  ◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
  ◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
  ◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
  1+2+4+8+16+32+64
 =64×2−1
 =127
なお、1+2+4+8+16+32+64は、64×2=128チームが参加したトーナメント戦の試合数(=敗戦チームの数)と考えて128−1=127とすることもできます。



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