灘中学校２０２６年算数２日目第３問（解答・解説）
東大の問題（東京大学２０００年前期理科数学第５問）をアレンジした問題でしょうね。
（１）
２数の和が３になるのは、０−３、１−２の２ペアになります。
この２つのペアのうち少なくとも１つのペアを使う必要があります。
千の位の数が何になるかで場合分けして解きます。 ←誘導がこのことを示唆していますね。
各場合を考える際にダブりが生じやすいので、うまく処理する必要があります。
あえてダブらせた後ダブったものを引いて調整する解法でも解けますが、ここでは、ダブりを避ける場合分けの解法で解きます。
千の位が１のものについて考えます。
１のパートナーの２が含まれる場合と含まれない場合に分けて考えます。
２が含まれる場合、１と２以外の８個の数から２つの数を選び、千の位以外の位の並べ替えを考えればよいから、
（８×７）/（２×１）×（３×２×１）
＝１６８個
あります。
２が含まれない場合、０と３の２数が含まれることになり、０、１、２、３以外の６個の数から１つの数を選び、千の位以外の位の並べ替えを考えればよいから、
６×（３×２×１）
＝３６個
あります。
結局、千の位が１のものは１６８＋３６＝２０４個あります。
千の位が２、３のものも同様に２０４個あります。 ←ペアに現れる数（ただし、最高位に使えない０は除きます）とペアに現れない数はそれぞれ条件的に同じですね。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
千の位が４のものについて考えます。
２ペアを含む場合は、ありませんね。
１−２のペアだけを含む場合は、残りの数として１、２、４以外の７個の数から１個選び、千の位以外の位の並べ替えを考えればよいから、７×（３×２×１）＝４２個あります。
０−３のペアだけを含む場合も同様に４２通りあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
結局、千の位が４のものは４２＋４２＝８４個あります。
因みに、この場合は２ペアを含む場合がなく、ダブりに注意する必要はないので、どのペアを選ぶかで２通り、残りの１つの数の選び方で７通り、並べ替えで３×２×１＝６通りあるから、２×７×６＝８４個というようにすることができます。
千の位が５、６、７、８、９の場合も同様に８４個あります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
したがって、Ｎの値は
２０４×３＋８４×６
＝１１１６
となります。
（２）
２数の和が１１になるのは、２−９、３−８、４−７、５−６の４ペアになります。
この４つのペアのうち少なくとも１つのペアを使う必要があります。
千の位の数が何になるかで場合分けして解きます。 ←（１）と同様の方針で解きます。
千の位が１のものについて考えます。 ←（１）における千の位が４のものと同様に考えられます。千の位がペアとなりうる数かどうかがポイントですからね。
２ペアを含む場合は、ありませんね。
どのペアを選ぶかで４通りあり、残りの１つの数の選び方で７通り、並べ替えで３×２×１＝６通りあるから、４×７×６＝１６８個あります。
千の位が２のものについて考えます。 ←（１）における千の位が１のものと同様に考えられます。
２のパートナーの９が含まれる場合と含まれない場合に分けて考えます。
９が含まれる場合、２と９以外の８個の数から２つの数を選び、千の位以外の位の並べ替えを考えればよいから、
（８×７）/（２×１）×（３×２×１）
＝１６８個
あります。
９が含まれない場合、２−９以外のペアから１つのペアを選び、２と９と選んだペアの２数以外の６個の数から１つの数を選び、千の位以外の位の並べ替えを考えればよいから、
３×６×（３×２×１）
＝１０８個
あります。
結局、千の位が２のものは１６８＋１０８＝２７６個あります。
千の位が３、４、５、６、７、８、９のものも同様に２７６個あります。 ←ペアに現れる数とペアに現れない数はそれぞれ条件的に同じですね。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
したがって、条件を満たす数は全部で
１６８＋２７６×８
＝２３７６個
あります。