灘中学校２０２２年算数２日目第１問（解答・解説）
（１）
一般に、ｘの約数として１番大きなものはｘ、２番目に大きなものはｘ/２以下、３番目に大きなものはｘ/３以下となります。
ｘ/２とｘ/３を加えたところで、ｘを超えることはないから、[ｘ]＞ｘとなるためには２番目に小さい約数がｘとなる、つまり、ｘが素数となることになります。
したがって、答えは２、３、５、７となります。
（２）
１２＝１＋１１、２＋１０、３＋９、４＋８、５＋７、６＋６を調べつくします。
１＋１１の場合、１×１１＝１１が条件を満たします。
２＋１０の場合、２×１０＝２０が条件を満たします。
３＋９の場合、３×９＝２７が条件を満たします。
４＋８の場合、４×８＝３２は条件を満たしません。 ←[３２]＝２＋１６＝１８となりますね。実際には、４を見た瞬間に、約数２があることが分かるので、計算するまでもありません。
５＋７の場合、５×７＝３５が条件を満たします。
６＋６の場合、６×６＝３６は条件を満たしません。 ←[３６]＝２＋１８＝２０となりますね。実際には、６を見た瞬間に、約数２があることが分かるので、計算するまでもありません。
したがって、答えは１１、２０、２７、３５となります。
（３）
例の[５１]＝２０より小さいものを探していきます。
２番目に小さい約数が２のとき、２番目に大きい約数は、約数をペアで書き出したときに２とペアになる数となりますが、それは５２/２＝２６以上となり、論外ですね。
２番目に小さい約数が３のとき、問題文の例より、最低でも２０となってしまいますね。
また、（１）で考察したことより、素数は論外ですね。
そこで、２でも３でも割り切れない数のうち素数でないものをチェックしていきます。 ←６個中２個未満で、全部で１０数個なので、調べつくします。１００＝１０×１０であることから、１０前後の約数をペアにしたものをチェックしてもよいでしょう。
[５５]＝５＋１１＝１６
[６５]＝５＋１３＝１８
この後の５の倍数は[ｘ]＞１８となるので、チェックする必要はありません。
[７７]＝７＋１１＝１８
この後の７の倍数は[ｘ]＞１８となるので、チェックする必要はありません。
したがって、最も小さい数は１６、２番目に小さい数は１８となります。