灘中学校２０２１年算数２日目第４問（解答・解説）
（１）
１２３に（Ａ）〜（Ｄ）の並べ替えを行うと、それぞれ２３１、３１２、２１３、１３２となり、１２３を逆に並べた３２１だけないことが分かります。
このことに着目すれば、１２３とつながっていないところが３２１となり、３１２とつながっていないところが２１３となり、２３１とつながっていないところが１３２となることがすぐにわかりますね。
したがって、答えは下の図のようになります。
（２）
最短経路問題における、いわゆる「いちいち解法」を利用します。 ←この問題の条件設定を少し簡単にした問題（ラ・サール中学校１９９７年算数１日目第４問）もぜひ解いてみましょう。
本問の場合、同じ地点を何度も通るために数字で混乱する可能性があるので、各秒ごとに数字にしるし（１回目は△、２回目は□、３回目は〇、回目は無印）をつけておきます。
その際、各数が正八面体の頂点に配置され、１２３と３２１が最も離れた２頂点にあると考えれば、１２３と３２１以外の４数が条件的に同じであることがすぐにわかりますね。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
３回の並べ替えで初めて１２３の並びに戻る場合は全部で
２×４
＝８通り
あります。
（３）
（２）と同様に考えます。
５回の並べ替えで初めて１２３の並びに戻る場合は全部で
２４×４
＝９６通り
あります。
（４）
（Ａ）と（Ｂ）だけでたどることができる部分を書き出すと、下の図のループＰのようになります。
時計回りに移動すると（Ａ）、反時計回りに移動すると（Ｂ）となっていますね。
５回目以外１２３に戻れないことに注意すれば、条件を満たすのはＡＡＢＡＡとＢＢＡＢＢの２通りであることがすぐにわかりますね。 ←実際には、最初にＡのものがＡＡＢＡＡであることがわかれば、条件の対等性により、最初にＢのものがＡとＢを入れ替えたＢＢＡＢＢであることが直ちにわかりますね。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
（５）
（Ｃ）と（Ｄ）があると、ループＰとループＱが切り替わります。
最初と最後がループＰの数（１２３）だから、（Ｃ）と（Ｄ）は合わせて偶数（０も含みます）回必要となり、（Ａ）と（Ｂ）は合わせて奇数（１、３、５ですね）回必要となります。
したがって、条件を満たす場合は全部で
９６−２
＝９４通り
あります。