灘中学校2021年2日目第3問(解答・解説)


正三角形の「方眼紙」を利用して解きます。
灘中学校2021年算数2日目第3問(解答・解説)の図
(1)
三角形GLMと三角形GNFのピラミッド相似(相似比は1:4)より、LM=1/4cmとなります。
三角形GCHと三角形MLHのちょうちょ相似(相似比は1:1/4=4:1)より、CH=1×4/(1+4)=4/5cmとなります。
三角形JOKと三角形JNAのちょうちょ相似(相似比は1:3)より、OK=1/3cmとなり、DK=1+1/3=4/3cmとなります。
(2)
三角形AIFと三角形KIGのちょうちょ相似(相似比は2:(1+2+4/3)=6:13)より、AFを底辺と考えたとき、三角形AIFの高さは三角形DFA(面積は、正六角形の6分割のイメージより、正六角形ABCDEFの面積の2/6=1/3倍となりますね)の高さの6/(6+13)=6/19倍となるから、三角形AIFの面積は正六角形ABCDEFの面積の1/3×6/19=2/19倍となります。
(3)
(2)より、三角形KIGの面積は正六角形ABCDEFの面積の2/19×(13×13)/(6×6)=169/(18×19)倍となります。
また、(1)より、三角形GCHの面積は1/24×4/5=1/30倍となり、三角形DKJの面積は1/24×4/3=1/18倍となります。 ←三角形の高さ一定⇒三角形の面積比=底辺の長さの比
したがって、五角形CDJIHの面積は、正六角形ABCDEFの面積の
  169/(18×19)−1/30−1/18
 =(845−57−95)/(90×19)
 =693/(90×19)
 =77/190倍
となります。

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