灘中学校2020年算数2日目第3問(解答・解説)

(1)
2以外の数がある場所(4通りありますね)で場合分けして考えます。
 22:2□・・・□が0〜9のうち2以外の9通りだから、9分間
 22:□2・・・□が0〜5のうち2以外の5通りだから、5分間
 2□:22・・・□が0〜3のうち2以外の3通りだから、3分間
 □2:22・・・□が0〜2のうち2以外の2通りだから、2分間
だから、条件を満たす表示がされているのは
  9+5+3+2
 =19分間
となります。
(2)
(1)で分かったことを整理しておきます。
デジタル表示の左から1、2、3、4番目はそれぞれ2、3、5、9通りありますね。ただし、左から2番目に関しては左から1番目が2の場合だけで、左から1番目が2以外の0か1の場合は9通りあります。 ←但し書きで述べたことについては、(3)の(お)の場合の解説を参照
このことさえわかっていれば、機械的に処理できます。
2以外の数がある場所((4×3)/(2×1)=6通りありますね)で場合分けして考えます。
 22:□〇・・・5×9=45分間
 2□:2〇・・・3×9=27分間
 2□:〇2・・・3×5=15分間
 □2:2〇・・・2×9=18分間
 □2:〇2・・・2×5=10分間
 □〇:22・・・2×9=18分間
だから、条件を満たす表示がされているのは
  45+27+15+18+10+18
 =133分間
となります。
(3)
すべての時間(24時間=1440分間)は、次の5つの場合に分類されます。
 (あ)4つの数字の中に、2がちょうど4つある場合
 (い)4つの数字の中に、2がちょうど3つある場合・・・(1)
 (う)4つの数字の中に、2がちょうど2つある場合・・・(2)
 (え)4つの数字の中に、2がちょうど1つある場合・・・(3)
 (お)4つの数字の中に、2がない場合
(あ)の場合は22:22だけだから、条件を満たす表示がされているのは1分間となります。
(お)の場合、条件を満たす表示がされているのは
  2×9×5×9 ←デジタル表示の左から1番目は0と1の2通りあり、そのそれぞれに対して、左から2番目は0〜9のうち2以外の9通りあり、そのそれぞれに対して、左から3番目は0〜5のうち2以外の5通りあり、そのそれぞれに対して、左から4番目は0〜9のうち2以外の9通りあるからです。この問題の「2」が「0」や「1」になっていれば、左から2番目のところが左から1番目の数字によって影響されて少し面倒になっていましたが、この問題では簡単に求められますね。
 =810分間
となります。
したがって、条件を満たす表示がされている時間は
  1440−(1+19+133+810)
 =477分間
となります。
なお、2の場所で場合分けし、(2)と同様に考えて、3×5×9+2×5×9+2×9×9+2×9×5=477分間というように直接求めることもできます。



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