灘中学校２０１６年算数２日目第１問（解答・解説）
継子立てと呼ばれる有名問題ですね。
一般に、１から順に数字の書かれているカードを時計回りに環状に並べ、１のカードから１枚おきに時計回りに取り除くとき、カードの枚数が２の累乗であれば、最初は２の倍数が残り、次に４の倍数が残り、次に８の倍数が残り、次に１６の倍数が残り、次に３２の倍数が残り、・・・というように、最後に残るのは最大の数となります。 ←わからなければ、小さな数で実験してみるとよいでしょう。
このことを利用すれば、（５）がすぐに解けます。
（５）
２０１６−１０２４＝９９２枚取り除いたとき、カードの枚数は１０２４枚で右端のカードの数は９９２×２＝１９８４だから、２０１５回目の操作後に残るカードの数字は１９８４となります。 ←２の１０乗が１０２４であることを利用しました。
さて、残りの問題を解くために、操作の様子を分析してみましょう。
２０１６＝１６×１２６＝３２×６３だから、５周目の操作終了までは、〇周目の操作で、２を〇個掛け合わせた数で割り切れる数が取り除かれることがすぐにわかりますね。 ←説明のため、下では１周目スタート時から書いてありますが、実際には、６周目スタート時から書けばよいでしょう。
１周目スタート時：１，２，３，４，・・・，２０１５，２０１６（２０１６枚）
取り除かれるカード＝２で割ると１余る数のカード（１００８枚）、残るカード＝２で割り切れる数のカード（１００８枚）
２周目スタート時：２，４，６，８，・・・，２０１４，２０１６（１００８枚）
取り除かれるカード＝４で割ると２余る数のカード（５０４枚）、残るカード＝４で割り切れる数のカード（５０４枚）
３周目スタート時：４，８，１２，１６，・・・，２０１２，２０１６（５０４枚）
取り除かれるカード＝８で割ると４余る数のカード（２５２枚）、残るカード＝８で割り切れる数のカード（２５２枚）
４周目スタート時：８，１６，２４，３２，・・・，２００８，２０１６（２５２枚）
取り除かれるカード＝１６で割ると８余る数のカード（１２６枚）、残るカード＝１６で割り切れる数のカード（１２６枚）
５周目スタート時：１６，３２，４８，６４，・・・，２０００，２０１６（１２６枚）
取り除かれるカード＝３２で割ると１６余る数のカード（６３枚）、残るカード＝３２で割り切れる数のカード（６３枚）
６周目スタート時：３２，６４，９６，１２８，・・・，１９８４，２０１６（６３枚）
取り除かれるカード＝６４で割ると３２余る数のカード（３２枚）、残るカード＝６４で割り切れる数のカード（３１枚）
７周目スタート時：１２８，１９２，２５６，・・・，１９８４，６４（３１枚）
取り除かれるカード＝１２８で割り切れる数のカード（１５枚）、残るカード＝１２８で割ると６４余る数のカード（１６枚） ←最後の６４は８周目になるので、取り除きません。
８周目スタート時：６４，１９２，３２０，・・・，１９８４（１６枚） ←これで最初に述べた継子立ての知識がそのまま適用できる状況になりましたね。
（１）
１周目で１００８回の操作が行われるから、１００９回目の操作では、２周目スタート時の最初の数（２で割り切れる数の最小のもの）である２が取り除かれます。
（２）
１０００（＝８×１２５）は８で割り切れるが１６で割り切れない数だから、４周目で取り除かれます。
４周目の８で割り切れる数は、８から始めて２個に１個の割合で取り除かれます。
１２５番目の８の倍数は、１２５÷２＝６２．５より、６３回目に取り除かれるから、１０００は
１００８＋５０４＋２５２＋６３
＝１８２７回目
の操作で取り除かれます。
（３）
（２）と同じ問題で、少しくどいですね。
２０１６は３２で割り切れるが６４で割り切れない数だから、６周目で取り除かれます。
しかも、最後に取り除かれ、７周目スタート時のカードが３１枚であることから、２０１６は
２０１６−３１
＝１９８５回目
の操作で取り除かれます。
（４）
２０００回目の操作が終わり、１６枚のカードが残るのは、ちょうど７周目の操作が終わったときになります。
上の説明より、１２８で割ると６４余る数が残っていることになります。