灘中学校07年1日目第3問(解答・解説)

先頭が2で末尾が7、間がすべて0である整数は、各位の数の和が9の倍数だから、必ず9で割り切れます。 ←9の倍数の判定法(ある整数の各位の数の和が9の倍数であれば、その整数は9の倍数である。)を利用しました。
そこで、各数を9で割ったときの商を考えることにします。
27=9×3、81=9×9だから、各数を9で割ったときの商が、3では割り切れるが、9では割り切れないものであればいいですね。
 (27÷9=3・・・各位の数の和=3×) ←0がない場合も同様に考えることができますね。
 207÷9=23・・・各位の数の和=3+2=5×
 2007÷9=223・・・各位の数の和=3+2×2=7×
 20007÷9=2223・・・各位の数の和=3+2×3=9×(3で割り切れますが、9でも割り切れるので駄目ですね。)
 200007÷9=22223・・・各位の数の和=3+2×4=11×
 2000007÷9=222223・・・各位の数の和=3+2×5=13×
 20000007÷9=2222223・・・各位の数の和=3+2×6=15(3で割り切れますが、9では割り切れないので、すべての条件を満たしますね。)
いちいち全部計算しなくても、先頭の2と末尾の7の間の0が1個増えると、各位の数の和が2増える(公差2の等差数列になっている)ことはすぐにわかりますね。 ←(参考)を参照しましょう。
求める数は20000007となります。
(参考)
例えば、
  2007
 =2000+7
 =2×(999+1)+7 ←9の倍数の判定法を学習したときに、同様の変形が出てきたはずです。
 =2×999+2×1+7 ←分配法則を利用しました。
 =2×999+9 ←共通する数(9)に注目して、分配法則の逆を利用しました。
 =9×(222+1)
 =9×223
となります。
同様に、
  20007
 =20000+7
 =2×(9999+1)+7
 =2×9999+2×1+7 ←分配法則を利用しました。
 =2×9999+9 ←共通する数(9)に注目して、分配法則の逆を利用しました。
 =9×(2222+1)
 =9×2223
となります。
このことを一般化すると、次のようになります。
  20・・・07(0が□個)
 =20・・・・00+7(0が(□+1)個)
 =2×(99・・・9+1)+7(9が(□+1)個)
 =2×99・・・9+2×1+7 ←分配法則を利用しました。
 =2×99・・・9+9
 =9×(22・・・2+1)(2が(□+1)個) ←共通する数(9)に注目して、分配法則の逆を利用しました。
 =9×22・・・23(2が□個)
結局、2×□+3が3では割り切れる(□が3の倍数でなければならないことはすぐにわかりますね)が9では割り切れないという条件を考えればいいことになります。
□=3のとき、2×3+3=9となるので、駄目ですが、□=6のとき、2×6+3=15となるので、すべての条件を満たしますね。

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