灘中学校2004年算数1日目第15問(解答・解説)

灘中学校2004年算数1日目第15問(解答・解説)の図

ACと平行な補助線EGを引きます。 ←相似を作り出します。
三角形GBEと三角形ABCは相似な三角形(直角二等辺三角形)になるので、AG=CE=3cmとなります。
また、三角形DAFと三角形DGEは相似(相似比は、DA:DG=6:(6+3)=2:3)だから、その面積比は
  2×2:3×3=4:9
となります。
三角形CFEの面積をとすると、三角形DAFの面積はとなり、平行四辺形AGEFの面積は
  ×(9−4)/4
 =10
となります。
ACとEGは平行だから、
  (AF+GE):CF
 =台形AGEFの面積:三角形CFEの面積 ←(平行線と面積比)を参照
 =10:3
となります。
CF=[3]とすると、AF+GE=[10]となります。
ここで、三角形DAFと三角形DGEの相似(相似比は、2:3)に注目すると、AF:GE=2:3となり、
  AF=[10]×2/(2+3)=[4]
  GE=[10]−[4]=[6]
となります。
したがって、三角形ABCと三角形GBEの相似比は
  AC:GE=([4]+[3]):[6]=7:6
となるので、
  BC:BE=F:E
となります。
F−E=@が3cmに相当するから、BC(Fに相当)は
  3×F/@
 =21cm
となり、直角二等辺三角形ABCの面積は
  21×21×1/2
 =441/2cm2
となります。

平行線と面積比
下の図の面積比は、いずれも「上底+下底」の比で処理できます(長方形も平行四辺形も台形だから、左の2つですべて処理できます。また、三角形を上底0の台形と考えると、すべてを台形として処理できますね)。
平行線と面積比

面積比は
  (0+a):(b+c):(d+d):(e+e)
となります。



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