武蔵中学校２０２１年算数第３問（解答・解説）
（１）
正六角形の６分割のイメージより、四角形ＡＢＤＦの面積は
１０×４/６
＝２０/３cm2
となります。
（２）
ＢＧ＝ＥＨより、直線ＧＨは点対称図形である正六角形ＡＢＣＤＥＦの中心（Ｋとします）を通ります。
そこで、補助線ＤＫを引きます。
上の図から、次の面積比がわかります。
三角形ＤＩＣと三角形ＤＩＫは合同（共通な辺ＤＩがあり、正六角形の６分割のイメージより、ＤＣ＝ＤＫ（正六角形の一辺の長さ）、角ＣＤＩ＝角ＫＤＩ＝３０度だから、２辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますね）で、ＧＩ：ＩＣ＝２：３だから、ＧＩ：ＩＫ＝２：３となります。
三角形ＢＩＧと三角形ＤＩＫのちょうちょ相似（相似比は２：３）により、三角形ＢＩＧの面積：ＤＩＫの面積＝（２×２）：（３×３）＝④：⑨となります。
また、三角形ＢＩＧと三角形ＣＩＧは、底辺の比がＢＧ：ＧＣ＝２：（３－２）＝２：１で高さが等しいから、その面積比は２：１となり、三角形ＣＩＧの面積は④×１/２＝②となり、三角形ＢＣＤの面積は④＋②＋⑨＝⑮となります。
これが正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の１/６となるから、三角形ＢＧＩの面積は
１０×１/６×④/⑮
＝４/９cm2
となります。
（３）
点対称性より、ＫＧ＝ＫＨで、三角形ＤＫＪと三角形ＦＨJのちょうちょ相似（相似比は３：１）によりＫＪ：ＨＪ＝３：１だから、
ＩＫ：ＫＪ
＝３：５×３/（３＋１）
＝４：５
となります。
三角形ＤＫＩと三角形ＤＫＪは、底辺の比がＩＫ：ＫＪ＝４：５で高さが等しいから、その面積比は４：５となります。
したがって、三角形ＩＤＪの面積は
１０×１/６×⑨/⑮×（４＋５）/４
＝９/４cm2
となります。
（参考）正六角形の６分割・延長のイメージ
上の図から、次の面積比がわかります。
