武蔵中学校2004年算数第3問(解答・解説)


(1)と(2)をまとめて処理します。
道の選び方の問題には、次のような有名な問題があります。
(問題)次の図で、点Pから点Qまで遠回りしないで行く方法は、全部で何通りありますか。
道の選び方の問題の図1

この問題に対しては、下図のように、角の点までの行き方を書き込む解法があります。
道の選び方の問題の図2

ある角までの行き方は、その手前の角までの行き方の和なっています。
この方法を、本問に応用します。

回数を横軸にとり、(○の個数−×の個数)を縦軸にとります。
○が出ると、右斜め上のピンクの点(右に1つ、上に1つ移動したところ)に移動し、×が出ると、右斜め下のピンクの点(右に1つ、下に1つ移動したところ)に移動すると考えます(青色の矢印に注目します)。ゲームが終わるのは、(○の個数−×の個数)が0になったときですね。
あとは、道の選び方の問題同様、それぞれの点までの行き方を書き込んでいけばいいですね。
□回目終了時点では、(○の個数−×の個数)は(8−□)以下でなければならない(たとえば、5回目終了時点では、(○の個数−×の個数)は8−5=3以下でなければならないですね)ことに注意しましょう。

武蔵中学校2004年算数第3問(解答・解説)の図

(1)

ゲームが5回以内に終わるのは、2回目で終わる場合(1通り)と4回目で終わる場合(2通り)の合計3通りですね。
図の青い矢印をたどっていけば、
  ××、○×××、×○××
だとわかりますね。

(2)

8回目を投げてゲームが終わるのは、14通りですね。

なお、道順の選び方の解法が思いつかなくても、樹形図をかけば解けるでしょう。
×の個数が○の個数を2個上回るとゲームが終わることから、ゲームが終わるのは偶数回のみであることに注意するといいでしょう。 ←一般に、ある2数の和と差の偶奇は一致します。



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