武蔵中学校2002年算数第2問(解答・解説)

(1)
頂点Fから辺AEに垂線FIを下ろします。
武蔵中学校2002年算数第2問(解答・解説)の図

直角三角形がたくさん登場するので、角度に記号をつけ、辺の比をチェックするとよいでしょう(この問題であれば、角度に記号をつけるまでもないですね)。
まず、三角形ABCと三角形AIFのピラミッド相似に注目します。
辺の比が
  中:小 ←大の辺はわかりませんね(有名な辺の比の直角三角形(この場合は、辺の比が5:12:13の直角三角形)に関する知識を利用すれば、わかりますが・・・)。
 =AB:BC
 =(4+4+4):5
 =12:5
だから、AI:IF=12:5となります。
次に、三角形DEHと三角形IEFのピラミッド相似に注目します。
辺の比が
  中:小 ←大の辺はわかりませんね(有名な辺の比の直角三角形(この場合は、辺の比が3:4:5の直角三角形)に関する知識を利用すれば、わかりますが・・・)。
 =DE:DH
 =4:3
だから、IE:IF=4:3となります。
IF=[15]とします。 ←無用な分数(小数)を避けるため、3と5の最小公倍数でおきました。比合わせしても同じことです。
  AI
 =[15]×12/5
 =[36]
となり、
  IE
 =[15]×4/3
 =[20]
となります。
  [36]+[20] ←AEですね。
 =[56]

  4+4
 =8cm
に相当するから、求める高さ(IF=[15])は
  8×[15]/[56]
 =15/7cm
となります。
(2)
  三角形FHCの面積
 =図形全体の面積−三角形FHC以外の部分の面積
 =三角形ADHの面積+台形BCHDの面積−(三角形AEHの面積+三角形ABCの面積−三角形AEFの面積) ←ヴェン図をイメージしましょう。
 =4×3×1/2+(3+5)×8×1/2−(8×3×1/2+12×5×1/2−8×15/7×1/2)
 =6+32−(12+30−60/7)
 =38−234/7
 =266/7−234/7
 =32/7cm2
となります。
なお、FJ(点Jは、IFを延長した線と辺CHの交点とします)の長さを求めて、三角形FHCの面積を直接公式で求めることもできます。
  三角形FHCの面積
 =FJ×BD×1/2 ←こうなることは、等積変形で確認できます(詳細は省略)。
 ={3+(5−3)÷8×(4−20/7)−15/7}×8×1/2 ←FJ=JI−IFですね。JIの長さは、変化量を利用して求めました(詳細は省略)。
 =32/7cm2
となります。



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