開成中学校２０１０年算数第１問（３）（解答・解説）
１/１２が小さいので、範囲をしぼって解こうとしても答えの候補が多くて面倒ですね。
そこで、通分を分析して解きます。
△と□の最大公約数を☆とし、△＝☆×〇、□＝☆×◎とします（〇と◎は互いに素（最大公約数が１））。
１/△＋１/□＝（◎＋〇）/（☆×〇×◎）が１/１２＝（◎＋〇）/｛（◎＋〇）×１２｝となるのですが、〇と◎が互いに素だから、〇も◎も◎＋〇と互いに素となり、〇と◎は１２の約数となります。
１２の約数は、１、２、３、４、６、１２となります。
このうち互いに素な２つの約数の組は（１，１）、（１，２）、（１，３）、（１，４）、（１，６）、（１，１２）、（２，３）、（３，４）となり、このときの☆（（◎＋〇）×１２/（〇×◎）を計算する機械的な作業）はそれぞれ２４、１８、１６、１５、１４、１３、１０、７となるから、（△,□）＝（２４，２４）、（１８，３６）、（１６，４８）、（１５，６０）、（１４，８４）、（１３，１５６）、（２０，３０）、（２１，２８）となります。