ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（２）（解答・解説）
様々な解法が考えられますが、合同な直角三角形を２つ組み合わせると二等辺三角形ができることを利用したものを２つ紹介します。
（解法１）
上の左側の図のように、三角形ＡＢＥを辺ＢＥに関して折り返します。
三角形ＢＦＤと三角形ＣＡＤのちょうちょ相似（相似比はＢＦ：ＣＡ＝３：２）に着目すると、ＦＤ：ＡＤ＝３：２＝６：４となります。
また、ＡＥ：ＥＦ＝１：１＝５：５となるから、
ＡＤ：ＤＥ
＝４：（５－４）
＝４：１
となります。
三角形ＢＦＤと三角形ＣＡＤのちょうちょ相似（相似比は３：２）に着目するとＢＤ：ＣＤ＝３：２となります。 ←角の二等分線定理を知っている人はＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ＝３：２とすることもできます。なお、上の解法が角の二等分線定理の（具体的な場合の）証明の１つになっていることもわかるでしょう。
あとは、いわゆる隣辺比の知識を利用するだけですね。
三角形ＡＤＣの面積：三角形ＢＥＤの面積
＝（ＤＡ×ＤＣ）：（ＤＢ：ＤＥ）
＝（４×２）：（３×１）
＝８：３
となります。
（解法２）
上の右側の図のように、三角形ＡＢＥを辺ＡＥに関して折り返します。
いわゆるベンツ切りの処理に持ち込みます。
２点ＤとＦを直線で結びます。
三角形ＤＢＥと三角形ＤＦＥの面積を③とします。 ←この２つの三角形の面積の合計を２倍したものが３の倍数となるようにこのようにおきました。
三角形ＡＢＤの面積は
三角形ＢＦＤの面積×ＡＣ/ＣＦ ←三角形ＡＢＤと三角形ＢＦＤの共通する辺ＢＤを底辺と考えた場合、高さの比はＡＣとＣＦの比と一致しますね。
＝③×２×２/１
＝⑫
となり、三角形ＡＤＣの面積は
三角形ＡＤＦの面積×ＡＣ/ＡＦ ←三角形ＡＤＣと三角形ＡＤＦは高さが等しいから、面積比は底辺の比と一致しますね。
＝⑫×２/３
＝⑧
となります。
したがって、三角形ＡＤＣの面積：三角形ＢＥＤの面積＝⑧：③＝８：３となります。
なお、ＡＤ：ＤＥ＝三角形ＡＢＤの面積：三角形ＤＢＥの面積＝⑫：③＝４：１となります。
