久留米大学附設高等学校２０２０年数学第１問（５）（解答・解説）
ｍもｎも１以上の整数となります。
まず、条件の厳しいｍの上限チェックを行います。
ｍ3は２０２０/４＝５０５未満の整数となります。
８×８×８（＝５１２）＞５０５＞７×７×７（＝３４３）だから、ｍは７以下の整数となります。
ｎ2＝２０２０−４ｍ3＝４×（５０５−ｍ3）となります。 ←分配法則の逆を利用しました。
ｎ2も４（＝２×２）も平方数だから、５０５−ｍ3が平方数となるものを探せばいいですね。
５０５−１×１×１＝５０４×
５０５−２×２×２＝４９７×
５０５−３×３×３＝４７８×
５０５−４×４×４＝４４１＝２１×２１〇（ｎ＝２×２１＝４２）
５０５−５×５×５＝３８０×
５０５−６×６×６＝２８９＝１７×１７〇（ｎ＝２×１７＝３４） ←問題文に答えが２組と明記されているから、この時点で作業を終了してもよいでしょう。
５０５−７×７×７＝１６２×
したがって、（ｍ,ｎ）＝（４，４２）、（６，３４）となります。
なお、平方数を３で割った余りは０か１となるから、ｍが３で割ると２余るものについては計算するまでもありませんが、この問題ではそこまでする必要はないでしょう。