大阪星光学院高等学校２０２４年数学第５問（解答・解説）
（１）
４点Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｈを結んでできる立体は（立方体にぴったり入る）正四面体になります。
三角錐Ｆ−ＡＢＣと合同な三角錐４つを立方体から取り除けばいいですね。
立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨと比べると、三角錐Ｆ−ＡＢＣは、底面積（三角形ＡＢＣ）が１/２倍、高さ（ＦＢ）が１倍で、柱体に対する錐体の体積比が１/３だから、その体積は立方体の体積の１/２×１×１/３＝１/６倍となります。
結局、立体の体積は、立方体の体積の１−１/６×４＝１/３倍となるから、 ←これは常に成り立つことで、知っておいた方がいいでしょう。
４×４×４×１/３
＝６４/３cm3
となります。
（２）
４点Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｇを結んでできる立体も４点Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｈを結んでできる立体同様、正四面体となります。
４点Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｈを結んでできる立体の各辺と４点Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｇを結んでできる立体の各辺が交わる点は立方体の各面の中心になります。
あとは、４点Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｈを結んでできる立体の同一面上の点を結ぶだけです。
２つの重なった部分の立体は（立方体にぴったり入る）正八面体になります。
この正八面体の上半分の四角すいは、立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨと比べると、底面積（正方形）が１/２倍、高さが１/２倍で、柱体に対する錐体の体積比が１/３だから、その体積は立方体の体積の１/２×１/２×１/３＝１/１２倍となります。
結局、重なった部分の立体（正八面体）の体積は、立方体の体積の１/１２×２＝１/６倍となるから、 ←これは常に成り立つことで、知っておいた方がいいでしょう。立方体にぴったり入る正八面体と正四面体の体積比もわかりますね。
４×４×４×１/６
＝３２/３cm3
となります。
