神戸女学院中学部２００３年算数第３問（解答・解説）
★正六角形のイメージ★
（分割） 面積の等しい６つの三角形に分割！
（延長） 延長して、正三角形を作る！
さて、問題を解いてみましょう。
（１）「方眼紙」（正六角形の場合は、正三角形「方眼紙」）で求めます。
図のように、正六角形を分割します。
正六角形は、小さな三角形２４個分で、三角形ＡＢＣは、小さな三角形９個分になります。 ←問題で与えられた正六角形と三角形ＡＢＣに含まれる正六角形（小さな三角形６個分）が相似（相似比は、２：１）であることから、面積比２×２：１×１＝４：１であることを利用すれば、数え間違いを防げますね。
したがって、三角形ＡＢＣの面積は、
１００×９/２４
＝７５/２
＝３７．５cm2
（別解）
図のように延長します。
三角形ＤＥＦと三角形ＤＡＣ（三角形ＡＢＣと合同ですね）は相似（相似比２：（２＋１）＝２：３）だから、面積比は、２×２：３×３となります。
また、正六角形は、三角形ＤＥＦ６個分です。
したがって、
正六角形の面積：三角形ＡＢＣの面積
＝２×２×６：３×３
＝８：３
となり、
三角形ＡＢＣの面積＝１００×３/８＝７５/２ （以下略）
となります。
（２）（１）と同様に「方眼紙」で求めます。
その際に、（１）との違い（下図の三角形ＰＱＲがあるかないかという違い）に注目すると、簡単に解けます。やはり自分で図を描くことは大切ですね。
三角形ＡＢＣの面積から、三角形ＡＢＣの内部で、三角形ＰＱＲの外部にある部分の面積を引けばいいですね。
三角形ＡＢＣの内部で、三角形ＰＱＲの外部にある部分は、３箇所（かしょ）ありますが、３つの面積は等しいので、１箇所だけ考えて３倍すればいいですね。
線分ＡＢと線分ＰＱが垂直だから、三角形ＡＢＣの内部で、三角形ＰＱＲの外部にある部分の三角形は、小さな正三角形の半分になります。
結局、斜線部分は、小さな正三角形
９−０．５×３＝７．５個分
となります。
したがって、求める面積は
１００×７．５/２４
＝７５０/２４
＝１２５/４
＝３１．２５cm2
となります。
