甲陽学院中学校95年1日目第4問(解答・解説)


(1)
六角形ABCDEFは6つの角(内角)の大きさがすべて等しいので、1つの内角の大きさは、
  180−360/6=120度 ←180×(6−2)/6としてもいいでしょう。
になります。
そこで、下図のように辺を延長すると正三角形(三角形PQR)となります。
甲陽学院中学校1995年算数1日目第4問(解答・解説)の図


次のことは、覚えておいて損はないでしょう。灘中をはじめとしていろいろな中学校で出題されています。

 内角がすべて120度の六角形は、1つおきに辺を延長すると正三角形になります。


正三角形PQRの1辺の長さは
  PQ=PB+BC+CQ=AB+BC+CD=10+30+30=70cm
となるので、
  EF=ER=QR−QD−DE=QR−CD−DE=70−30−20=20cm
  FA=RP−AP−RF=RP−AB−EF=70−10−20=40cm
となります。

(2)
1辺の長さ10cmの正三角形(三角形APB)と1辺の長さ20cmの正三角形(三角形ERF)と1辺の長さ30cmの正三角形(CQD)と1辺の長さ70cmの正三角形(三角形PQR)は、相似です。
相似比は、
  1:2:3:7
だから、面積比は
  1×1:2×2:3×3:7×7=1:4:9:49
となります。
したがって、六角形ABCDEFの面積は、1辺の長さ10cmの正三角形の面積の
  {49−(1+4+9)}/1=35倍
となります。

なお、三角形PQRを1辺の長さ10cmの正三角形49個に分割した図を描いて求める(「方眼紙」で求める)方法もありますが、本問では、少し面倒でしょう。

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