甲陽学院中学校２０２６年算数１日目第６問（解答・解説）
（１）
問題文に与えられた操作をするだけです。
１３→１４→７→８（２の３乗）
この時点で、あとは２で３回割れば１となることがわかりますね。
答えは６回となります。
（２）
操作（＊）を分析します。
奇数 →＋１→ 偶数
偶数 →÷２→ 奇数か偶数
最終結果がわかっているので、逆から考えます。
逆から考えると、偶数の直前の数を求めるには１をひくか２をかける（ただし、２の直前は２をかけることになります（１をひくと１となりますが、１となった後に操作をしてはいけませんね））ことになり、奇数の直前の数を求めるには２をかけることになります。
操作が最も多くなるのは、１をたす作業が最も多くなるときとなります。 ←問題文の例がヒントになっているのかもしれませんね。
先ほど分析したことからわかりますが、１をたす作業を２回連続して行うことはできません。
そこで、１をひく作業と２をかける作業をできるだけ交互にすることになります。
１→２→４→３→６→５→１０→９→１８→１７→３４→３３→６６→６５→１３０→１２９→２５８→２５７→５１４→５１３→１０２６→１０２５→２０５０→２０４９→・・・（この問題を解くにあたっては、１０２５以降は不要です。）
だから、条件を満たす３桁の整数は５１３となり、求める回数は１９回となります。
因みに、この問題と同様の問題が数学オリンピック（JMO)で出されています（日本数学オリンピック２００３年予選第８問（２以上２００３以下の整数に対して操作（＊）を行う問題だから、求める整数は１０２５となります））。
（３）
（２）同様、逆から考えます。
逆から考えたとき、偶数の個数は１つ前（実際は１つ後）の偶数と奇数の個数の和となり、奇数の個数は１つ前（実際は１つ後）の偶数の個数となります。
あとは、表を書いていくだけです。
偶数 １ １ １ ２ ３ ５ ８ １３ ２１ ３４
奇数 ０ ０ １ １ ２ ３ ５ ８ １３ ２１
合計 １ １ ２ ３ ５ ８ １３ ２１ ３４ ５５
（赤い数字に注意しましょう（先ほど述べたことからわかりますね）。）
したがって、答えは５５個となります。
なお、少し書いてみるとフィボナッチ数列が登場することが分かるので、規則性が分かった後は、合計のところだけ書き出してもいいでしょう。