甲陽学院中学校2021年算数2日目第6問(解答・解説)


4と9を使わない整数(0、1、2、3、5、6、7、8の8種類の数字だけを使う数)だから、8進法の問題ですね。
ただし、0、1、2、3、4、5、6、7、の8種類の数字しか現れない普通の8進法とは微妙に違います(変則8進法)。
  普通の8進法  0 1 2 3 4 5 6 7
  本問の8進法  0 1 2 3 5 6 7 8
(1)
変則8進法の2021を10進法になおす問題にすぎませんね。
2021を普通の8進数になおしても2021のままですね。
8×8×8の位が2、8×8の位が0、8の位が2、1の位が1だから、2021は
  2×8×8×8+0×8×8+2×8+1×1
 =1041番目
となります。
(2)
まず、10進法の200を普通の8進法になおし、次に、本問の8進法になおします。
  8)200
  8) 25・・・0
      3・・・1
  10進法   200
   ↓
  普通の8進法 310
   ↓     ↓↓↓
  本問の8進法 310
300以上310以下の数の和は
  (0+1+2+3+5+6+7+8+10)+300×9
 =2742 ←( )の中の計算は55−4−9とすればよいでしょう。
となります。
300未満の数(200−9=191個)については、答えに影響しない0を差し込んで3桁のデジタル数(191+1=192個)で考えます。
000、001、002、003、005、・・・、283、285、286、287、288の和は、
 (000+288)×192/2 ←両端から1個ずつ組み合わせて和を求めました。
 =27648
となります。
したがって、はじめから200番目の数までの和は
  2742+27648
 =30390
となります。
本問の類題として、変則N進法(0あり)の問題( 聖光学院中学校2003年第3問)と変則N進法(0なし)の問題(洛南高校附属中学校2013年第4問)と隠れたN進法(変則でないもの)の問題(四天王寺中学校2006年A第5問)があるので、ぜひ解いてみましょう。



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