甲陽学院中学校２０２０年算数１日目第２問（解答・解説）
（１）
（正方形について）
大きさで分類して数え上げます。
１辺が１cmの正方形・・・５×５＝２５個
１辺が２cmの正方形・・・４×４＝１６個
１辺が３cmの正方形・・・３×３＝９個
１辺が４cmの正方形・・・２×２＝４個
１辺が５cmの正方形・・・１×１＝１個
したがって、正方形は全部で
２５＋１６＋９＋４＋１
＝５５個
あります。
（長方形について）
上下の辺の選び方も左右の辺の選び方もそれぞれ
（６×５）/（２×１） ←６本の線から２本の線を選べばいい（組合せ）ですね。
＝１５通り
あるから、長方形は全部で
１５×１５
＝２２５個
あります。
（２）
（正方形について）
（１）で求めた個数から、（２）で削除された２個の正方形を少なくとも１個含むものの個数を引いて求めます。
（２）で削除された２個の正方形を少なくとも１個含む正方形の個数を大きさで分類して数え上げます。
１辺が１cmの正方形・・・２個
１辺が２cmの正方形・・・２個
１辺が３cmの正方形・・・２個
１辺が４cmの正方形・・・２個
１辺が５cmの正方形・・・１個
したがって、正方形は全部で
５５−（２＋２＋２＋２＋１）
＝４６個
あります。
（長方形について）
（１）で求めた個数から、（２）で削除された２個の正方形を少なくとも１個含むものの個数を引いて求めます。
まず、削除された左側の正方形を含む長方形について考えます。
下の辺と左の辺は確定しているので、上の辺と右の辺を決めればいいですね。
どちらの辺も５通りの選び方があるので、削除された左側の正方形を含む長方形は全部で
５×５
＝２５個
あります。
次に、削除された右側の正方形を含む長方形について考えます。
削除された左側の正方形を含む長方形の場合と同様に２５個あります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
最後に、削除された２個の正方形を両方とも含む長方形を考えます。
下の辺、左の辺。右の辺は確定しているので、上の辺を決めればいいですね。
上の辺の選び方は５通りあるから、削除された２個の正方形を両方とも含む長方形は全部で５個あります。
結局、削除された２個の正方形を少なくとも１個含む長方形は全部で
２５＋２５−５ ←あえてダブらせて後で調整します。〜「ひきすぎ⇒たす」
＝４５個
あるから、長方形は全部で
２２５−４５
＝１８０個
あります。
この問題と同様の問題（名古屋市立大学２０１６年前期医学部他数学第２問）をホームページで取り上げているので、ぜひ解いてみましょう。