甲陽学院中学校2015年算数2日目第6問(解答・解説)


(1)
辺BC上に、点Hを、AHとDF(EG)が平行になるように取ります。 平行線は入試頻出の補助線の1つです。
甲陽学院中学校2015年算数2日目第6問(解答・解説)の図

三角形BDFと三角形BAHのピラミッド相似(相似比はBD:BA=3:(3+2)=3:5)に注目すると、DF=AH×3/5となることがわかります。
また、三角形CEGと三角形CAHのピラミッド相似(相似比はCE:CA=1:(1+2)=1:3)に注目すると、EG=AH×1/3となることがわかります。
したがって、
  DF:EG
 =(AH×3/5):(AH×1/3)
 =9:5
となります。
(2)
面積比が
  三角形ABC:台形DFGE=405:196
で、「上底+下底」(「中底」)の比が
  三角形ABC:台形DFGE=AH:(DF+GE)=(9×5/3):(9+5)=15:14
だから、高さの比は
  BC:FG
 =405/15:196/14 比の積・商〜台形の面積=(上底+下底)×高さ×1/2、三角形の面積=底辺(ここでは中底を使います)×高さ×1/2の公式から逆算しただけです。「中底」については、ラサール中学校2006年算数第5問の解説を参照しましょう。
 =27:14
 =27:14
となります。
また、(1)の相似より、BF:FH=[3]:[2]、CG:GH=@:Aだから、
  [3]+@=271413
  [2]+A=14
あとは消去算を解くだけです。
2番目の式を1/2倍すると、[1]+@=となります。
これと1番目の式の差を考えると、[2]=となり、[1]=となります。
したがって、
  BF:FG:GC
 =(×3):14:(13×3)
 =9:14:4
となります。



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