甲陽学院中学校2014年算数1日目第6問(解答・解説)


誘導を無視してメインの問題から解きます。
(3)
3桁の整数の各位の数を大きくない順に〇、□、△とすると、
〇×□×△は〇+□+△以下となりますが、〇+□+△は△+△+△=△×3以下となるので、〇×□は3以下となります。 上限チェック!
〇と□のありうる組み合わせ(〇,□)は
 (0,0)、(0,1)、(0,2)、・・・、(0,8)、(0,9)、
 (1,1)、(1,2)、(1,3)
となります。
〇、□、△のありうる組み合わせ(〇,□,△)とそれを並べ替えたときの3桁の整数の個数は
 (0,0,1〜9)・・・1×9=9個 ←△が百の位に確定しますね。△が0がないため、特殊な例になります。
 (0,1,1〜9)・・・2+2×2×1×(9−1)=34個 ←△が1のときとそれ以外のときは並べ方の場合の数が異なりますね(以下同様です)。0、1、1の並べ方は0が十の位か一の位のどちらに来るかで2通りあります。例えば、0、1、2の並べ方は、百の位が0以外の2通りあり、そのそれぞれに対して十の位が2通りあり、そのそれぞれに対して一の位が1通りあるから、全部で2×2×1通りあります。
 (0,2,2〜9)・・・2+2×2×1×(8−1)=30個
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 (0,8,8〜9)・・・2+2×2×1×(2−1)=6個
 (0,9,9)  ・・・2+2×2×1×(1−1)=2個
 (1,1,1〜9)・・・1+3×8=25個
 (1,2,2〜3)・・・3+3×2×1=9個 ←〇が0のときと〇=□=1のとき、△の上限に制限は出てきませんでした(調べればわかりますし、不等式を作って導き出してもよいでしょう)が、1×2×△≦1+2+△より、△は3以下となります。
 (1,3,×) ←1×3×△≦1+3+△より、△は2以下となり、ありえません。
となるから、3桁の整数は全部で
  9+(34+30+・・・+6+2)+25+9
 =43+(34+2)×9×1/2 ←等差数列の和の公式を利用しました。
 =205個
となります。
以下、十の位の数と一の位の数をそれぞれ◎と☆とします。
(1)
与えられた条件より、9×◎×☆は9+◎+☆以下で、これは9+9+9=27以下だから、◎×☆は3以下となります。 上限チェック!
少し調べてみる(◎(☆)を0、1、2、・・・としてみる)と、(あ)◎と☆の少なくとも一方が0のときと(い)◎と☆がともに1のときのみ条件を満たすことがわかります。 ←上の考察からもわかりますね。ただ、上のように厳密に考えれば、上の解法をすればいいということになりますね。
(あ)の場合は、
  10×10−9×9 ←全体から0を全く含まない場合を取り除きました。
 =19個
あり、(い)の場合は、11の1個あるから、全部で
  19+1
 =20個
あります。
(2)
与えられた条件より、1×◎×☆は1+◎+☆以下で、これは1+9+9=19以下だから、◎×☆は19以下となります。 ←上限チェックをしましたが、範囲が十分に絞り切れていませんね。
少し調べてみる(◎(☆)を0、1、2、・・・としてみる)と、(あ)◎と☆の少なくとも一方が0または1のときと(い)下2桁(◎☆)が22または23または32のときのみ条件を満たすことがわかります。
(あ)の場合は、
  10×10−8×8 ←全体から0も1も全く含まない場合を取り除きました。
 =36個
あり、(い)の場合は、3個あるから、全部で
  36+3
 =39個
あります。



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