甲陽学院中学校２００７年算数２日目第６問（解答・解説）
与えられた規則から、奇数番目の数は偶数番目の数によって決まる（１つ前の数（偶数番目の数）＋１）ことが分かりますね。
そこで、偶数番目の数について分析します。
左から〇×２番目の数は、これより〇番前の数、つまり左から〇番目の数と等しくなります。 ←わかりにくければ、４番目や６番目などの小さな例で考えてみるとよいでしょう。
奇数段目を上段に、偶数番目を下段に書き出していきます。 ←問題文にある１０個の数を下段に一気に書いて、そのあと上段を１０個書き、その後、下段を書き出していけば、すぐにできますね。
１ ２ ２ ３ ２ ３ ３ ４ ２ ３ ３ ４ ３ ４ ４ ５ ・・・
１ １ ２ １ ２ ２ ３ １ ２ ２ ３ ２ ３ ３ ４ ・・・
（１）
上に書き出したものをチェックすると、初めて２が登場するのは３番目、初めて３が登場するのは７番目、初めて４が登場するのは１５番目、初めて５が登場するのは３１番目ですね。
整理すると、次のようになります。 ←条件を満たす数の真下にある数が何番目になるかを考えるとわかりやすいでしょう。
（１ （２−１）番目）
２ （２×２−１）番目
３ （２×２×２−１）番目
４ （２×２×２×２−１）番目
５ （２×２×２×２×２−１）番目
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
△ （２の△乗−１）番目 ←ハノイの塔の規則性ですね。
したがって、初めて「８」という数を記入するカードは左から
２×２×２×２×２×２×２×２−１
＝２５５番目
となります。
（２）
最初に分析したことを利用しながら、さかのぼって考えます。
４０００番目＝２０００番目＝１０００番目＝５００番目＝２５０番目＝１２５番目＝１２４番目＋１
１２４番目＝６２番目＝３１番目
左から３１番目の数は５だから、左から４０００番目の数は５＋１＝６となります。