久留米大学附設中学校２０２０年算数第４問（解答・解説）
倍数判定法が背景にある問題です。
一般に、ある整数□（△×１０＋〇と表すことにします）が☆で割り切れるとき、△×１０＋〇＝☆×◎だから、〇＝☆×◎－△×１０となります（〇は０以上９以下の整数、△、□、☆、◎は整数）。
ここで、整数★を考えると、
△－★×〇
＝△－★×（☆×◎－△×１０）
＝△－★×☆×◎＋★×△×１０ ←分配法則を利用しました。その際、「ひきすぎ⇒たす」を利用しました。
＝△×（★×１０＋１）－★×☆×◎ ←分配法則の逆を利用しました。
となるから、★×１０＋１が☆で割り切れるような★を定めれば、△－★×〇は☆の倍数となり、△×１０＋〇が☆で割り切れるか確認する代わりに△－★×〇が☆で割り切れるか確認すればよいことがわかります。
整数□（△×１０＋〇）が☆で割り切るかどうかを確認する手順
①★×１０＋１が☆で割り切れるような★を見つけます。
②△×１０から、〇×★を引きます。
③計算の結果が☆の倍数かどうかが判明すれば作業を終え、そうでなければ再度②の作業を行います。
（１）と（２）は９１の倍数判定の問題です。
（１）
４５６７６５４
→４５６７６５－４×９＝４５６７２９・・・[ア]
→４５６７２－９×９＝４５５９１・・・[イ] ←４５５、９１のかたまりを見れば、９１で割り切れることはわかりますが・・・
→４５５９－１×９＝４５５０・・・[ウ]
→４５５－０×９＝４５５・・・[エ]
→４５－５×９＝０
この問題を解いた結果、４５６７６５４が９×１０＋１＝９１の倍数であることが確認できたことになります。
（２）
４５６７６[オ]４４０４が９１の倍数となるように[オ]を定めるということですね。
４５６７６[オ]４４０４
→４５６７６[オ]４４０－４×９＝４５６７６[オ]４０４
→４５６７６[オ]０４ ←上の作業からこの結果（下３桁が４０４のとき、それを０４に置き換えることができること）がすぐにわかるはずですね。
（１）より４５６７６５４０が９１の倍数だから、９１×４＝３６４をたした４５６７６９０４が９１の倍数であることがすぐにわかるので、[オ]＝９となります。 ←一の位の４に着目すれば、９１×４を考えればよいことがすぐにわかりますね。
（３）
これ以降の問題は５１の倍数判定の問題ですね。
５１×５＝２５５、５１×１５＝２５５＋５１０＝７６５だから、[カ]＝２、[キ]＝７となります。 ←一の位に着目すれば５の奇数倍をかければよいことがすぐにわかりますね。なお、５１×２５＞１０００となり、３桁にはなりませんね。
（４）
５１＝３×１７だから、まず３の倍数となることが必要です。
[ク]＋７×８＋４＝[ク]＋６０が３の倍数となるから、[ク]は３か６か９となります。
３の場合について考えます。
３＋４＝７で、３４０＋３４＝３７４、３４００＋３４０＋３４＝３７７４、・・・であることから、３７７７７７７７７４＝３４×１１１１１１１１１となることがすぐにわかり、３４は１７の倍数だから、[ク]＝３の場合に条件を満たすことがすぐにわかります。
３０００００００００は５１の倍数でないから、６と９は条件を満たしませんね。
（５）
[ケ][ケ]３３３３３３[コ][コ]＝１１×[ケ]０３０３０３０[コ]
（４）同様、まず３の倍数となる条件について考えます。
１１は３の倍数でないから、[ケ]０３０３０３０[コ]が３の倍数となります。
[ケ]＋３×３＋[コ]＝[ケ]＋[コ]＋９が３の倍数となるから、[ケ]＋[コ]が３の倍数（３以上１８以下）となります。
１１は１７の倍数でないから、[ケ]０３０３０３０[コ]が１７の倍数となります。
小さい方から順に調べていきます。
１０３０３０３０２ ←この数の並びを見た瞬間に１０２×１０１０１０１となることに気付く人もいるでしょうね。
→１０３０３０３０－２×５＝１０３０３０２０
→１０３０３０２－０×５＝１０３０３０２
→１０３０２ ←上の作業からこの結果（下３桁が３０２のとき、それを２に置き換えることができること）がすぐにわかるはずですね。
→１０２ ←上と同様ですね。
１０２は５１の倍数だから、[ケ]＝１、[ク]＝２の場合に条件を満たすことが分かります。
１組だけ求めればよいので、これで作業を終えます。
なお、[ケ]＝４、[ク]＝５の場合、[ケ]＝７、[ク]＝８の場合も答えになります。