| 問題 |
 南山中学校女子部２０１９年第２問１/２＋１/４＝３/４、１/２＋１/４＋１/８＝７/８、１/２＋１/４＋１/８＋１/１６＝１５/１６です。 このとき、１＋１/２＋１/４＋１/８＋１/１６＋１/３２＋１/６４＋１/１２８＋１/２５６＋１/５１２＋１/１０２４を計算しなさい。 |
| 解答・解説 |
|
（解法１） 問題文のヒントを利用して、規則性の問題として解きます。 最初に与えられた３つの式（さらに、１/２＝１/２を加えてもいいでしょう）から、１/２＋１/４＋１/８＋１/１６＋１/３２＋１/６４＋１/１２８＋１/２５６＋１/５１２＋１/１０２４の計算結果が１から最後の数を引いたものであることが読み取れますね。 したがって、 与えられた式 ＝１＋１－１/１０２４ ＝１・１０２３/１０２４（１と１０２３/１０２４のことです） となります。 （解法２） 等比数列の和の求め方を利用して解きます。 ①＝ １＋１/２＋１/４＋１/８＋１/１６＋１/３２＋１/６４＋１/１２８＋１/２５６＋１/５１２＋１/１０２４ とすると、 ②＝２＋１＋１/２＋１/４＋１/８＋１/１６＋１/３２＋１/６４＋１/１２８＋１/２５６＋１/５１２ ←上の式のそれぞれの数を２倍して左にずらしてかきました。 となります。 その差の①は２－１/１０２４となります（以下略）。 なお、等比数列の和の求め方については、、灘中学校１９９９２年算数２日目第１問の解答・解説を参照しましょう。 （解法３）（略解） 与えられた式が１０２４の約数の逆数をすべて足したものであることに着目して、（１０２４×２－１）/１０２４とすることもできます。 |