問題


関西学院中学部1996年2日目第1問(4)



 次の計算をしなさい。  

 {1−1/(4×4)}×{1−1/(5×5)}×{1−1/(6×6)}×{1−1/(7×7)}


解答・解説


  与えられた式
 ={(4×4−1×1)/(4×4)}×{(5×5−1×1)/(5×5)}×{(6×6−1×1)/(6×6)}×{(7×7−1×1)/(7×7)}
 =(4+1)×(4−1)/(4×4)×(5+1)×(5−1)/(5×5)×(6+1)×(6−1)/(6×6)×(7+1)×(7−1)/(7×7) 和と差の積が2乗の差となることを利用しました。
 =(5×3×6×4×7×5×8×6)/(4×4×5×5×6×6×7×7) ←分母・分子に同じ数字がたくさん現れるので、うまく約分できますね。
 =(3×8)/(4×7) ←分母、分子とも、最小のものと最大のものが1個ずつ残りますね。
 =6/7


(参考)和と差の積=2乗の差
一辺の長さが□と○(□>○とします)の正方形を重ね合わせて考えます。
関西学院中学部1996年2日目第1問(4)の図

黄色の長方形の面積と水色の長方形の面積の和は、右の図を見ると、(□+○)×(□−○)と表されます。
一方、左の図を見ると、□×□−○×○と表されます。
したがって、(□+○)×(□−○)=□×□−○×○となります。
この面積を重ね合わせるという手法は、例えば、2017×2017−2016×2016という計算問題を解くときなどに役立ちます。

(追加設問)
 次のように、あるきまりにしたがって式が並んでいます。
  1−1/(2×2)、1−1/(3×3)、1−1/(4×4)、1−1/(5×5)、・・・
 このとき、1番目から□番目までの積を計算すると13/25となります。
(解答・解説)
□番目の式は1−1/{(□+1)×(□+1)}となります。
上の計算問題と同様に考えると、1番目から□番目までの積は、
  1×(□+2)/{2×(□+1)} ←分母、分子とも、最小のものと最大のものが1個ずつ残りますね。
 =(□+2)/{2×(□+1)}
となります。
これが13/25と等しいから、
  (□+2):{2×(□+1)}=13:25 ←A/B、A:B、A÷Bは同じことです。
  (□+2):(□+1)=13:25/2=26:25=[26]:[25]
□+2と□+1の差が一定であることに注目すると、[1]=1となり、□は
  25−1
 =24
となります。


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