一橋大学２０２６年前期数学第５問（解答・解説）
説明の便宜上、４つのひもを①（両端をＡ、Ｂ）、②（両端をＣ、Ｄ）、③（両端をＥ、Ｆ）、④（両端をＧ、Ｈ）とし、ひもの両端をパートナーと呼び、同じ組になった２つの端をペアと呼びます。
まず、８つの端のうちの１つの端に注目します。
この端と同じ組になる端の決め方は、７通りあります。
次に、残った６つの端のうちの１つの端に注目します。
この端と同じ組になる端の決め方は、５通りあります。
次に、残った４つの端のうちの１つの端に注目します。
この端と同じ組になる端の決め方は、３通りあります。
最後に、残った２つの端のうちの１つの端に注目します。
この端と同じ組になる端の決め方は、１通りあります。 ←最後の２つの端は同じ組にならざるを得ないので、このように考えなくても、１通りであることは明らかですね。
したがって、４つの組の分け方は
７×５×３×１ ←「同時に起こる⇒積の法則」
＝１０５通り
あります。
少し面倒ですが、とりあえず、４つの組に名前があると考えて、４つの組に入る端の組み合わせを確定した後、組に区別がないことを考慮（組の入れ替えの場合の数（４×３×２×１）で割る）してもよいでしょう。
１つ目の組に入る端の決め方が（８×７）/（２×１）通りあり、そのそれぞれに対して、２つ目の組に入る端の決め方が（６×５）/（２×１）通りあり、そのそれぞれに対して、３つ目の組に入る端の決め方が（４×３）/（２×１）あり、そのそれぞれに対して、４つ目の組に入る端の決め方が１通りあるから、４つの組の分け方は
（８×７）/（２×１）×（６×５）/（２×１）×（４×３）/（２×１）×１×１/（４×３×２×１）
＝１０５通り
となります。
（１）
Ｎ＝４となるのは、①～④のすべてのひもで両端を同じ組とする１通りだけですね。
したがって、求める確率は１/１０５となります。
（２）
①のＡと同じ組となるのは、②～④の６つの端のいずれかで６通りあり、そのそれぞれに対して、Ａのペアに選ばれた端のパートナーと同じ組になるのは、①とＡのペアの端が属するひも以外の２つのひもの４つの端のいずれかで４通りあり、そのそれぞれに対して、直前に選んだ端のパートナーと同じ組になるのは、いまだ端が選ばれていない１つのひもの２つの端で２通りあり、あとは自動で確定するから、この場合は全部で
６×４×２
＝４８通り
あります。
したがって、求める確率は４８/１０５＝１６/３５となります。
（３）
Ｎ＝０となることもＮ≧５となることもありえませんね。
Ｎ＝２の場合について考えます。
次の２つの場合が考えられます。
（あ）１つのひもでできる輪と３つのひもでできる輪ができる場合
条件の対等性を考慮すると、①とそれ以外の３つのひもの場合について考え、それを４倍すればいいですね。
②のＣと同じ組となるのは、③か④の４つの端のいずれかで４通りあり、そのそれぞれに対して、Ｃのペアに選ばれた端のパートナーと同じ組になるのは２通り（例えば、Ｃのペアが③のいずれかの場合は、④のいずれかとなりますね）あり、あとは自動で確定するから、この場合は全部で
４×２×１×４
＝３２通り
あります。
（い）２つのひもでできる輪が２つできる場合
①に着目すると、①と１つの輪を構成するひもの選び方は②～④の３通りあります。
条件の対等性を考慮すると、「①と②」と「③と④」の場合について考え、それを３倍すればいいですね。
①のＡと同じ組となるのは、②の２つの端のいずれかで２通りあり、あとは自動で確定します。
③と④についても同様だから、この場合は全部で
２×２×３
＝１２通り
あります。
結局、Ｎ＝２となる場合は３２＋１２＝４４通りあり、Ｎ＝３となる場合は１０５－（１＋４８＋４４）＝１２通りあります。
したがって、求める期待値は
（１×４８＋２×４４＋３×１２＋４×１）/１０５
＝１７６/１０５
となるます。
誘導を考慮すると、Ｎ＝２と３のいずれかの場合を求めて余事象を考えることになりますが、上の解法では、あえて（勉強のため）面倒な方を求めています。
因みに、Ｎ＝３となる場合を直接求めると、（４×３）/（２×１）×２＝１２通りとなります。
なぜこのようになるか考えてみるとよいでしょう。