東京大学１９５７年二次数学２第３問（解答・解説）
２０個の点から異なる３個の点を選ぶ場合は
（２０×１９×１８）/（３×２×１）
＝１１４０通り
あります。
このうち、選んだ３点が三角形の３頂点とならない場合、つまり、選んだ３点が一直線上に並ぶ場合を取り除きます（余事象の利用）。
選んだ３点が一直線上に並ぶ場合は、以下の４つの場合があります。
（あ）選んだ３点が縦に並ぶ場合
（い）選んだ３点が横に並ぶ場合
（う）選んだ３点が右上がりに並ぶ場合
（え）選んだ３点が左上がり（右下がり）に並ぶ場合
（あ）の場合
図のピンク色で縦に囲んだ４つの点から異なる３点を選ぶ場合で、これはピンク色で囲んだ４つの点から選ばない１点を選ぶと考えればよく、この場合は
４×５
＝２０通り
あります。
（い）の場合
図のピンク色で横に囲んだ５つの点から異なる３点を選ぶ場合で、これはピンク色で囲んだ５つの点から選ばない２点を選ぶと考えればよく、この場合は
（５×４）/（２×１）×４
＝４０通り
あります。
（う）の場合
左上から順に考えていきます。
その際、真ん中の６個の点（図の○と□で囲んだ点）のうち少なくとも１つを必ず通ることに着目します。
まず、右に１、上に１移動するタイプのものを考えます。
ピンク色の２本の直線についてまず考えます。
短いほうについては３つの点をすべて選ぶことになり１通りあります。
長いほうについては４つの点のうち異なる３点を選ぶことになり、先ほどと同様４通りあります。
点対称性に着目すると、水色の直線に関しても同様となります。 ←対称性を利用して作業を減らす！
次に、右に２、上に１移動するタイプのものを考えます。
黄緑色の直線については、３つの点をすべて選ぶことになり１通りあります。
点対称性に着目すると、黄色の直線に関しても同様となります。 ←対称性を利用して作業を減らす！
上記２つのタイプ以外に３点以上通る斜めの直線はありませんね。
結局、この場合は
（１＋４＋１）×２
＝１２通り
あります。
（え）の場合
（う）の場合同様、１２通りあります。 ←線対称性の利用〜対称性を利用して作業を減らす！
（あ）〜（え）より、三角形は全部で
１１４０−（２０＋４０＋１２×２）
＝１０５６個
できます。
