一橋大学２０２６年前期数学第４問（解答・解説）
一辺の長さが６の立方体Ｋをかき、平面αによる切り口をかきます。
まず、同一平面上の２点ＤとＥ、ＥとＦをそれぞれ直線で結びます。
次に、２点ＤとＥを結んだ線を延長し、直線ＯＣ、ＯＢと交わった点をそれぞれＧ、Ｈとします。 ←切り口をかくだけであれば、Ｄのほうだけ延長すればいいですが、体積を求めることを考慮し、Ｅのほうにも延長します。
２点ＨとＦを直線で結び、立方体の辺と交わった点をＩとし、Ｉを通り、直線ＤＥと平行な線を引き、立方体の辺と交わった点をＪとし、最後に、２点ＧとＪを直線で結びます。
ちょうちょ相似に着目し、長さを書き入れると図のようになります。
また、大きな三角錐を復元するために、図のように延長します。 ←２点ＨとＦを直線で結んだときに延長しておいてもよいでしょう。また、延長せずに、線対称性を利用してもよいでしょう。
三角錐Ｈ−ＯＧＬとＨ−ＢＥＦとＤ−ＣＧＫとＩ−ＡＪＬは相似（相似比は、（４＋６）：４：２：２＝５：２：１：１）だから、体積比は（５×５×５）：（２×２×２）：（１×１×１）：（１×１×１）＝１２５：８：１：１＝[１２５]：[８]：[１]：[１]となります。
三角錐Ｈ−ＢＥＦと三角錐Ｏ−ＢＥＦは底面が等しく、高さの比が４：６＝２：３だから、体積比も２：３となり、三角錐Ｏ−ＢＥＦの体積は[８]×３/２＝[１２]となります。
同様に、三角錐Ｏ−ＣＫＤの体積と三角錐Ｏ−ＡＩＪの体積は、３/２：６＝１：４より、[１]×４＝[４]となります。
求める体積は[１２５]−（[８]＋[１]×２＋[１２]＋[４]×２）＝[９５]となります。
三角錐Ｈ−ＢＥＦの体積（[８]）が３×３×１/２×４×１/３＝６だから、求める体積は
６×[９５]/[８]
＝２８５/４
となります。
