大阪大学２０２６年理系数学第５問（解答・解説）
ｘは、出た目の和を２回掛け合わせた数を出た目の積を３倍した数で割った値ということですね。
a+b+cは１×３＝３以上６×３＝１８以下の整数となります。 ←上限チェック！下限チェック！
ｘが整数となるためには、分子が３の倍数となる必要があり、出た目の和は３の倍数となります。
すべての場合は６×６×６（通り）あります。
（１）
a=b=cのとき、出た目の和はa×３でそれを２回掛け合わせた数はa×３×a×３となり、出た目の積を３倍した数はa×a×a×３だから、ｘ＝3/aが整数となる場合を考えることになります。
aは１か３（要するに、３回とも１の目が出るか３回とも３の目が出るかということです）となるから、求める確率は２/（６×６×６）＝１/１０８となります。
（２）
６の目が少なくとも１回出たことになります。
６の目が出た回数で場合分けして考えます。
（あ）６の目が３個の場合
出た目の和は６×３＝１８で、それを２回掛け合わせた数は１８×１８（８の倍数ではありませんね（２で２回しか割り切れませんね））となります。 ←計算する必要はありません。
出た目の積の３倍は６×６×６×３（８の倍数ですね（２で３回割り切れますね））だから、条件を満たしません。
（い）６の目が２個だけの場合
出た目を６、６、□（□は１から５までの整数）とします。
出た目の和は６＋６＋□となります。
出た目の積の３倍は６×６×□×３で、３で３回割り切れるから、出た目の和が３で２回以上割り切れる必要があり、出た目の和は９の倍数となります。６＋６＋１＝１３以上１８以下の９の倍数は、１８だけですが、これをみたす□はありませんね。
結局、この場合はありません。
（う）６の目が１個だけの場合
出た目を６、□、△（□、△は１から５までの整数）とします。
出た目の和は６＋□＋△となります。
出た目の積の３倍は６×□×△×３で、６の倍数だから、出た目の和が６の倍数であることが必要ですね。
□＋△（＝６の倍数−６）は、１×２＝２以上、５×２＝１０以下の６の倍数となるから、□＋△＝６となります。
□＋△＝６
１ ５×（分子が５の倍数でなく、分母が５の倍数だから。）
２ ４○ （ｘ＝１２×１２/（６×２×４×３）＝１となるから。）
３ ３× （分子が３で２回だけしか割り切れない（分子の素因数３の個数が２個だけ）のに、分母が３で３回以上割り切れる（分子の素因数３の個数が３個以上）から。）
（あ）、（い）、（う）より、条件を満たすのは、出た目が６、２、４の組合せのときで、この場合は３×２×１＝６通りあるから、求める確率は６/（６×６×６）＝１/３６となります。
（３）
ｍが偶数の場合は
（６×６×６−５×５×５）＋（４×４×４−３×３×３）＋（２×２×２−１×１×１） ←ｍ＝６の場合は、６以下の目が出る場合のうち５以下の目が出る場合を取り除いたものになります（ｍ＝４、２の場合も同様）。
＝（２１６＋６４＋８）−（１２５＋２７＋１）
＝２８８−１５３
＝１３５通り
あります。
このうち、ｘが整数である場合が何通りあるか考えることになります。
ｍ＝６の場合は、（２）より、６通りありますね。
ｍ＝４の場合とｍ＝２の場合は、ｍ＝６の場合と同様の作業を行うだけです。
記述するのが面倒なだけなので、簡略化します。
４、４、４×（出た目の和の素因数２の個数が足りないから。）
４、４、１〜３×（出た目の和が６の倍数とならないから。）
４、１〜３、１〜３（出た目の和が６の倍数となるのは４、１、１だけですね。）
４、１、１のとき、ｘ＝６×６/（４×１×１×３）＝３となり、条件を満たします。
並べ替えで３通りありますね。
２、２、２×（出た目の和の素因数２の個数が足りないから。）
２、２、１×（出た目の和が３の倍数でないから。）
２、１、１×（出た目の和が３の倍数でないから。）
したがって、求める確率は（６＋３）/１３５＝１/１５となります。