名古屋大学２０２６年理系数学第３問（解答・解説）
a、b、cが互いに素（最大公約数が１）だから、a、b、cに共通する素因数はありません。
（１）
まず、１２０を素因数分解します。
１２０＝３×４×１０＝２×２×２×３×５となります。
素因数２はすべてa、b、cのうちの１つに割り振る必要があります。
素因数３と５についても同様です。
a、b、cのうち何個の整数に各素因数（２、３、５）が割り振られるかで場合分けして考えると、次の３つの場合が考えられます。
（あ）１個の場合
（い）２個の場合
（う）３個の場合
（あ）の場合
１、１、１２０の１通りが考えられますね。
（い）の場合
次の３通りが考えられます。
１、３、４０
１、５、２４
１、８、１５
（う）の場合
３、５、８の１通りが考えられます。
（あ）、（い）、（う）より、(a,b,c)＝（１，１，１２０）、（１，３，４０）、（１，５，２４）、（１，８，１５）、（３，５，８）となります。
なお、a、b、cの大小関係の設定がない場合は全部で３×３×３＝２７通りあり、その内訳は次のようになります。
１、１、１２０の場合が、a、b、cのうちどれが１２０になるか考えると３通りあり、それ以外の場合が、それぞれ異なる３つの数を並べ替えを考えることとなり３×２×１＝６通りずつあります。
因みに、１が１個の場合で、残りの２つの数が一致することはありえませんし、１が０個の場合で、いずれか２つの数が一致することはありえません。
ある特定の素因数○に着目すると、それが割り振られた数は○の倍数となりますが、それが割り振られなかった数は○の倍数となりえないからです。
（２）、（３）ではこういうことを考えないといけませんね。
（２）（３）
（１）の最後に説明したことで解決済みと言える問題です。
Ｎ！を素因数分解したときの素因数はｍ種類あり、このｍ種類の素因数をa、b、cに割り振ることを考えます。
同一の素因数に関してはa、b、cのうちの１つにすべてを割り振る必要があるから、それぞれの素因数の割り振り方は３×３×・・・×３（３をｍ個掛け合わせた数（３のｍ乗））＝３m通りとなり、（２）の答えは３m個となります。
（１）同様、a、b、cのうち何個の整数に各素因数が割り振られるかで場合分けして考えると、次の３つの場合が考えられます。
（あ）１個の場合
（い）２個の場合
（う）３個の場合
（あ）の場合
１、１、Ｎ！の１通りありますが、３m通りの中では３通りとしてカウントされています。
（い）、（う）の場合
（１）の最後に述べたことからわかるように、３m通りの中では各場合は３×２×１＝６通りとしてカウントされているから、これらの場合は（３m−３）/６（通り）あります。 ←ダブって数えたものを重複度で割ります。組合せなどでもしていることですね。
したがって、（３）の答えは、１＋（３m−３）/６＝（６＋３m−３）/６＝（３m＋３）/６＝（３m-1＋１）/２個となります。