東京大学２０２６年理科数学第２問・文科数学第２問（解答・解説）
１９５７年の東大入試問題の数値が変わっただけの問題です。
（１）
ｎ＝５の場合を考えるということですね。
３×５＝１５個の点から異なる３個の点を選ぶ場合は
（１５×１４×１３）/（３×２×１）
＝４５５通り
あります。
このうち、選んだ３点が三角形の３頂点とならない場合、つまり、選んだ３点が一直線上に並ぶ場合を取り除きます（余事象の利用）。
選んだ３点が一直線上に並ぶ場合は、以下の４つの場合があります。
（あ）選んだ３点が縦に並ぶ場合
（い）選んだ３点が横に並ぶ場合
（う）選んだ３点が右上がりに並ぶ場合
（え）選んだ３点が左上がり（右下がり）に並ぶ場合
（あ）の場合
図のピンク色で縦に囲んだ５つの点から異なる３点を選ぶ場合で、これはピンク色で囲んだ５つの点から選ばない２点を選ぶと考えればよく、この場合は
（５×４）/（２×１）×３
＝３０通り
あります。
（い）の場合
図のピンク色で横に囲んだ３つの点からすべての点を選ぶ場合で、この場合は５通りあります。
（う）の場合
一直線上に並ぶ３点の真ん中の点が、縦に並んだ５個の点の真ん中の列（左から２列目）のところに来ることに着眼して解きます。 ←真ん中＝平均のイメージです。
説明の便宜上、真ん中の列に並んだ点を下から順に１、２、３、４、５と表記することにします。
１と５はありませんね。 ←１がなければ、５もないことになります（点対称性の利用）。〜対称性を利用して作業を減らす！
２（○のところですね）について考えます。
○のところは、左に１、下に１移動した点を考えることができ、点対称性により、右に１、上に１移動した点を考えることができる（以下同じ）ので、一直線上に並ぶ３点が１通りだけあります。 ←上下に真っ二つに分けた場合の下半分を考える場合、右上の点が取れなくなることはないですね（以下同じ）。
４（△のところですね）も同様に１通りあります。 ←右に１、上に１移動した点を先に考えればいいですね。
３（□のところですね）について考えます。
左に１、下に１、２移動した点を考えることができ、一直線上に並ぶ３点が２通りあります。
結局、この場合は１＋２＋１＝４通りあります。
（え）の場合
（う）の場合同様、４通りあります。 ←線対称性の利用〜対称性を利用して作業を減らす！
（あ）〜（え）より、条件を満たす場合は
４５５−（３０＋５＋４×２）
＝４１２通り
あるから、求める確率は４１２/４５５となります。
（２）
ｎ＝２×ｍの場合を考えるということですね。
３×２×ｍ＝（６×ｍ）個の点から異なる３個の点を選ぶ場合は
（６×ｍ×（６×ｍ−１）×（６×ｍ−２））/（３×２×１）
＝２×ｍ×（６×ｍ−１）×（３×ｍ−１）（通り）
あります。
このうち、選んだ３点が三角形の３頂点とならない場合、つまり、選んだ３点が一直線上に並ぶ場合を取り除きます（余事象の利用）。
選んだ３点が一直線上に並ぶ場合は、以下の４つの場合があります。
（あ）選んだ３点が縦に並ぶ場合
（い）選んだ３点が横に並ぶ場合
（う）選んだ３点が右上がりに並ぶ場合
（え）選んだ３点が左上がり（右下がり）に並ぶ場合
（あ）の場合
図（（１）の図を参照）のピンク色で縦に囲んだ（２×ｍ）個の点から異なる３点を選ぶ場合で、この場合は
（２×ｍ×（２×ｍ−１）×（２×ｍ−２））/（３×２×１）×３
＝２×ｍ×（２×ｍ−１）×（ｍ−１）
あります。
（い）の場合
図（（１）の図を参照）のピンク色で横に囲んだ３つの点からすべての点を選ぶ場合で、この場合は（２×ｍ）通りあります。
（う）の場合
一直線上に並ぶ３点の真ん中の点が、縦に並んだ（２×ｍ）個の点の真ん中の列（左から２列目）のところに来ることに着眼して解きます。
説明の便宜上、真ん中の列に並んだ点を下から順に１、２、３、４、・・・、ｍ、ｍ＋１、・・・２×ｍ−１、２×ｍと表記することにします。
１と２×ｍはありませんね。 ←１がなければ、２×ｍもないことになります（点対称性の利用）。〜対称性を利用して作業を減らす！
２（○のところですね）について考えます。
○のところは、（１）同様１通りあります。
２×ｍ−１も同様に１通りあります。 ←右に１、上に１移動した点を先に考えればいいですね。
３（□のところですね）について考えます。
（１）同様、２通りあります。
２×ｍ−２のところも同様に２通りあります。
ｍ（☆のところですね）について考えます。
左に１、下に１、２、・・・、ｍ−１移動した点を考えることができ、一直線上に並ぶ３点が（ｍ−１）通りあります。 ←次のように一般化することができますね。ｋ（１≦ｋ≦ｍ）のところについて考える場合、左に１、下に１、２、・・・、ｋ−１移動した点を考えることができ、一直線上に並ぶ３点が（ｋ−１）通りあります。
結局、この場合は｛１＋２＋・・・＋（ｍ−１）｝×２＝（１＋ｍ−１）×（ｍ−１）×１/２×２＝ｍ（ｍ−１）通りあります。
（え）の場合
（う）の場合同様、ｍ（ｍ−１）通りあります。 ←線対称性の利用〜対称性を利用して作業を減らす！
（あ）〜（え）より、条件を満たす場合は
２×ｍ×（６×ｍ−１）×（３×ｍ−１）−｛２×ｍ×（２×ｍ−１）×（ｍ−１）＋２×ｍ＋ｍ（ｍ−１）×２｝
＝２×ｍ×｛１８×ｍ×ｍ−６×ｍ−３×ｍ＋１−（２×ｍ×ｍ−２×ｍ−ｍ＋１＋１＋ｍー１）｝ ←分配法則の逆を利用した後の計算が小学生には若干厳しいですが、分配法則を利用して処理しています。例えば、（６×ｍ−１）×（３×ｍ−１）＝（６×ｍー１）×３×ｍ−（６×ｍ−１）＝１８×ｍ×ｍ−３×ｍ−６×ｍ＋１（「ひきすぎたらたす」の利用でマイナス×マイナスの計算を回避）となります。・・・−（６×ｍ−１）の部分は、引かれる数と引く数の両方に１を足して、・・・＋１−６×ｍとして、マイナス×マイナスの計算を回避することもできます。
＝２×ｍ×（１６×ｍ×ｍ−７×ｍ）（通り）
あるから、求める確率は２×ｍ×（１６×ｍ×ｍ−７×ｍ）/｛２×ｍ×（６×ｍ−１）×（３×ｍ−１）｝＝｛ｍ×（１６×ｍ−７）｝/｛（６×ｍ−１）×（３×ｍ−１）｝となります。
なお、（１）の場合も（２）の場合も、（い）、（う）、（え）の場合をまとめて検討することも可能ですが、分析的に解くため、上記のような場合分けにしました。
