京都大学２０２４年理系数学第４問（解答・解説）
並べる数ですが、１つ前の数が偶数なら２で割り、奇数なら３倍して１を足したものを２で割るだけのことですね。
（解法１）
問題の形式から規則性がありそうなので、規則性の問題として処理します。
まず、小さい例で実験します。 ←「小さい例で実験⇒観察⇒規則性の把握⇒一般化」は規則性の問題を扱う際の基本ですね。
（あ）１個が（すべて）奇数の場合
最小のa0は１ですね。
（い）２個がすべて奇数の場合
a0＝１とすると、a1＝（３×１＋１）/２＝２（偶数）となり、条件を満たしません。
a0＝３とすると、a1＝（３×３＋１）/２＝５（奇数）となり、条件を満たします。
なお、a2＝（３×５＋１）/２＝８（偶数）となりますね。
（う）３個がすべて奇数の場合
a0＝１、３、５のとき条件を満たさないことは（い）で述べたことより明らかですね。
a0＝７とすると、a1＝（３×７＋１）/２＝１１、a2＝（３×１１＋１）/２＝１７となり、条件を満たします。
なお、a3＝（３×１７＋１）/２＝２６（偶数）となりますね。
（え）４個がすべて奇数の場合
a0＝１、３、５、７のとき条件を満たさないことは（い）、（う）で述べたことより明らかですね。
a0＝９とすると、a1＝（３×９＋１）/２＝１４（偶数）となり、条件を満たしません。
a0＝１１のとき条件を満たさないことは（う）で述べたことより明らかですね。
a0＝１３とすると、a1＝（３×１３＋１）/２＝２０（偶数）となり、条件を満たしません。
a0＝１５とすると、a1＝（３×１５＋１）/２＝２３、a2＝（３×２３＋１）/２＝３５となり、a3＝（３×３５＋１）/２＝５３となり、条件を満たします。
したがって、（１）の答えは１５となります。
ここまでをまとめると次のようになり、ハノイの塔の規則性であることがわかります。 ←最初の数が１で、差が２、４、８、・・・となっていますね。
（あ）１個の場合 １＝２の１乗−１
（い）２個の場合 ３＝２の２乗−１
（う）３個の場合 ７＝２の３乗−１
（え）４個の場合 １５＝２の４乗−１
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（さ）１１個の場合 ２の１１乗−１＝１０２４×２−１＝２０４７
これは推定に過ぎないので、大学入試においてはこの推定が正しいことを証明することになりますが、小学生の場合、これで答えとしていいでしょう。
（２）の答えは２０４７となります。
（解法２）
整数問題として処理します。
与えられた式のうち下の式だけを使うことになりますね。
消去算のときと同様の処理をします。
an+1＝（３×an＋１）/２
an+1×２＝３×an＋１ ←上の式の両辺を２倍ました。
an+1×２＋２＝３×an＋３ ←上の式の両辺に２を足しました。
（an+1＋１）×２＝（an＋１）×３ ←分配法則の逆を利用しました。
（an+1＋１）×２/３＝an＋１ ←上の式を３で割りました。
この式から、ある数に１を足したものは、次の数に１を足したものを２/３倍したものであることが分かりますね。
結局、a0＋１＝（２/３）×（２/３）×（２/３）×（a3＋１）となります。
a0が最小となるのは、a3が最小となるときですね。
a0＋１は整数だから、a3＋１は３×３×３の倍数となります。
また、a3＋１は偶数だから、結局、最小のものは２×３×３×３となります。
このとき、上の式を順に計算していけばa2もa1も奇数だから、最小のa0は２×２×２×２−１＝１５となり、これが（１）の答えとなります。
a0＋１＝（２/３）10×（a10＋１）となり、同様に考えると、最小のa0は２11−１＝２０４７となり、これが（２）の答えとなります。