渋谷教育学園幕張中学校２０１５年１次算数第１問（解答・解説）
（１）
２００９年のジュニア算数オリンピックファイナルの数値が変わっただけの問題です。
Ａ＞Ｂ＞Ｃと考えても問題ありません（一般性は失われません）。
２数の和を大きい順に並べると、
Ａ＋Ｂ
Ａ＋Ｃ
Ｂ＋Ｃ
となり、２数の差を大きい順に並べると、
Ａ−Ｃ
Ａ−Ｂ Ｂ−Ｃ（この両者は大小関係が不明）
となります。
Ａ−ＣがＡ＋Ｃより小さいことは明らかですが、Ａ−ＣとＢ＋Ｃの大小関係はわかりません。
以上のことから、
Ａ＋Ｂ＝６９、Ａ＋Ｃ＝５７、Ｂ＋ＣかＡ−Ｃ＝３６
となります。
Ａ＋ＣとＡ−Ｃの偶奇は一致するから、Ａ−Ｃ＝３６となることはありえず、Ｂ＋Ｃ＝３６となります。 ←このことは、Ａ＋ＣとＡ＋Ｂの差を考えると、Ｂ−Ｃ＝１２となることに矛盾しませんね。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ
＝（６９＋５７＋３６）÷２ ←Ａ＋Ｂ、Ａ＋Ｃ、Ｂ＋Ｃをすべて加えると、Ａ、Ｂ、Ｃをそれぞれ２回ずつカウントしていることになりますね。
＝８１
となるから、Ｃ＝８１−６９＝１２、Ｂ＝８１−５７＝２４、Ａ＝８１−３６＝４５となり、このとき、すべての条件を満たします。
したがって、３つの整数を大きい順に並べると、４５、２４、１２となります。
なお、次のように解くこともできます。
２数の和（Ａ＋Ｂ、Ａ＋Ｃ、Ｂ＋Ｃ）と差（Ａ−Ｃ、Ａ−Ｂ、Ｂ−Ｃ）をすべて加えると、
Ａ×４＋Ｂ×２＝６９＋５７＋３６＋３３＋２１＋１２
Ａ×４＋Ｂ×２＝２２８
Ａ×２＋Ｂ＝１１４ ←上の式を半分にしました。
となります。
これとＡ＋Ｂ＝６９との差を考えると、Ａ＝１１４−６９＝４５となります（以下略）。
（２）
２００９年の算数オリンピックファイナルの問題を少しアレンジした感じの問題です。
異なる４つの整数を大きい順にＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとします。
一般に、２数の和と差の偶奇は一致するから、２数の和と差の中には、偶数も奇数もそれぞれ偶数個あることになります。
２数の和と差１２個のうち、[ア]以外では、奇数が６個、偶数が５個あるから、[ア]は偶数となります。
このように偶数と奇数が６個ずつ現れる場合、４つの整数は、偶奇の異なるものが１つだけ存在することになります。 ←４つの整数がすべて偶数の場合とすべて奇数の場合は、２数の和と差はすべて偶数となり、４つの整数が偶数と奇数２個ずつの場合、２数の和と差は偶数が４個（偶奇が一致するもの同士の和と差だけですね）と奇数が８個となります。
２数の和と差のうち最大のものから２つがＰ＋Ｑ、Ｐ＋Ｒとなることは明らかだから、Ｐ＋Ｑ＝９５、Ｐ＋Ｒ＝８５となり、ＰとＱ、ＰとＲは偶奇が異なります。
この２式の差を考えると、Ｑ−Ｒ＝１０となるから、ＱとＲの偶奇が同じことがわかります。
したがって、Ｐのみが偶奇が異なるから、Ｐがらみの２数の和と差だけが奇数となり、４数の大小関係を考慮すると
Ｐ＋Ｑ＝９５
Ｐ＋Ｒ＝８５
Ｐ＋Ｓ＝８３
Ｐ−Ｓ＝４９
Ｐ−Ｒ＝４７
Ｐ−Ｑ＝３７
となります。
和差算を解くことにより、
Ｐ
＝（９５＋３７）÷２
＝６６
Ｑ
＝６６−３７
＝２９
Ｒ
＝８５−６６
＝１９
Ｓ
＝８３−６６
＝１７
となります。
[ア]は２９＋１９＝４６となります。
なお、次のようにすることもできます。
２数の和を大きい順に並べると、
Ｐ＋Ｑ
Ｐ＋Ｒ
Ｐ＋Ｓ Ｑ＋Ｒ（この両者は大小関係が不明）
Ｑ＋Ｓ
Ｒ＋Ｓ
となり、２数の差を大きい順に並べると、
Ｐ−Ｓ
・・・・
Ｐ−ＳがＰ＋Ｓより小さいことは明らかですが、Ｐ−ＳとＱ＋Ｒの大小関係はわかりません。
ここまでで
Ｐ＋Ｑ＝９５
Ｐ＋Ｒ＝８５
となることがわかり、２式の差を考えると、Ｑ−Ｒ＝１０となります。
Ｑ−ＲとＱ＋Ｒの偶奇は一致するから、Ｑ＋Ｒは４８、[ア]、３６、１２のいずれかとなります。 ←２数の和と差の偶奇は一致するから、２数の和と差を列挙した１２個の数には偶数と奇数が同数存在します。このことから、アは偶数となります。また、２数の和は差よりも大きいので、１０と２はありえません。
あとは、Ｑ＋Ｒ＝４８から調べていけばいいでしょう（以下略）。