洛南高校附属中学校２０２２年算数第７問（解答・解説）
（略解）
（１）（ア）
三角錐ＯＡＢＣの体積は３×３×１/２×６×１/３＝９cm3となります。
（イ）
「折り紙」に関する面積比に関する知識を利用すれば、三角形ＡＢＣの面積が６×６×３/８＝２７/２cm3となることはほんの数秒でわかりますね。
（２）（ア）
条件を満たすためには、切り口を含む平面が点対称図形である立方体の中心（Ｇとします）を通らないといけません。
３点Ａ、Ｏ、Ｄを含む面を抜き出した図を利用して解くこともできますが、ここでは図をかかずに解きます。
点Ａは面ＡＢＣにおいて、立方体の高さ分下に移動すると、ＯＤ方向にＯＤの長さの１/４進むから、点ＡよりＯＤ方向にＯＤの長さの１/２進んだところにある点Ｇは面ＡＢＣと平行な面（問題の切り口）において、立方体の高さの半分下に移動すると、ＯＤ方向にＯＤの長さの１/４×１/２＝１/８進みます。
したがって、（ＯＥの長さ）：（ＯＦの長さ）＝１/４：（１/２＋１/８）＝２：５となります。
（イ）
底面の正方形の対角線のうちＢＣと平行なものに着目し、平行線と面積比（「上底＋下底」の比）を利用します。
（２）（ア）より、三角形の面積：切り口（点対称な六角形）の面積＝（０＋４）：（６＋８）×１/２×２＝２：７より、切り口の面積は、三角形の面積の７/２倍となります。
（１）の（イ）と合わせて考えると、切り口の面積が求められます。