九州大学２０１８年文系数学第２問（解答・解説）
（１）
２ｎを７で割った余りを、ｎの小さい値から順に調べていきます。
２１＝２
２２＝４
２３＝８→１
２４→１×２＝２
・・・・・・・・・・・・・・・
となり、２、４、１の３個の数の繰り返しとなります。
実際、
２ｎ＋３
＝２ｎ×８
＝２ｎ×７＋２ｎ
となり、２ｎと２ｎ＋３を７で割った余りは同じですね（２をかける個数が３個増えても７で割った余りは変わりませんね）。
したがって、求める余りは次のようになります。
ｎが３で割ると１余る数のとき、２
ｎが３で割ると２余る数のとき、４
ｎが３で割りきれる数のとき、１
（２）
１０１(２)を１０進法に直すと、２×２×１＋２×０＋１×１＝５となります。
１０１１０１１０１１０１１０１１０１(２)を１０進法に直すと、
５×１＋５×２３＋５×２６＋２９＋２１２＋２１５ ←１０１のかたまりを崩してはいけません。これが九大の出題者の意図でしょう。
となりますが、（１）の結果より、２３、２６、・・・、２１５を７で割った余りはすべて１だから、ｍを７で割った余りは５×６＝３０を７で割った余りと一致し、２となります。