一橋大学２０２４年数学第５問（解答・解説）
条件を満たす三角形は鋭角三角形ですね。
ｎを２×ｍ＋１（ｍは１以上の整数）とし、三角形の１つの頂点を固定（図の☆）し、残り２つの頂点を選ぶと考えます。 ←ダブりを防ぐためです。
残りの２×ｍ個の頂点を正ｎ角形の線対称の軸によってｍ個ずつ分け、図のように記号を付けます。 ←この問題の場合、どの線対称の軸によっても、線対称の軸を通る頂点以外の２×ｍ個の頂点はｍ個ずつに分けられますね。このことは後で使います。
右側のｍ個の頂点だけから（もちろん左側のｍ個の頂点だけからも）２個選ぶと条件を満たさないことは明らかだから、左側のｍ個の頂点の場所を固定したときに、残り１つの頂点の場所がどこになるか考えていきます。
その際、正ｎ角形の線対称の軸に着目します。 ←ｎが奇数で、円の直径を通る２頂点はないから、直角三角形となることはありえず、鈍角三角形を避ければいいですね。ただし、鈍角三角形を意識しながら、鋭角三角形を直接数え上げていきます。
（１）のときは、[１]の１個
（２）のときは、[１]、[２]の２個
（３）のときは、[１]、[２]、[３]の３個
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（ｋ）のときは、[１]、[２]、[３]、・・・[ｋ]のｋ個 ←（ｍ−ｋ）個と何個かでｍ個だから、ｋ個となることが分かりますね。
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（ｍ）のときは、[１]、[２]、[３]、・・・、[ｍ]のｍ個
だから、条件を満たす２頂点の選び方は
１＋２＋３＋・・・＋ｍ
＝｛１＋（ｎ−１）/２｝×（ｎー１）/２×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。その際、ｎ＝２×ｍ＋１を逆算して、ｍ＝（ｎ−１）/２となることを利用しました。
＝（ｎ＋１）×（ｎ−１）/８（通り）
あります。
残り２頂点の選び方は全部で
（ｎ−１）×（ｎ−２）/（２×１） ←組合せですね。
＝４×（ｎ−１）×（ｎ−２）/８（通り） ←比率をわかりやすくするために、このように変形しました。
あるから、求める確率は（ｎ＋１）/｛４×（ｎ−２）｝となります。
なお、わかりにくければ、具体例（正五角形、正七角形の場合など）を考えてみればよいでしょう。因みに、正三角形の場合は、頂点の選び方は１通りに定まり、必ず鋭角三角形なるので、確率は１というつまらない場合になりますが、上の説明は成り立ちます。
ｎが奇数と指定されていない問題が１９６６年に京都大学で出されているので、ぜひ解いてみましょう。
