くろいうさぎさん、書き込みありがとうございます。

解法はこちらが用意したものと全く同じでした。（＾＾）
こちらが用意していた解法は、次のようなものです。

すべての直方体から立方体の個数を引いて求めます。
直方体の個数ですが、
前後の面の選び方が６つの面のうち２つの面の選び方、
左右の面の選び方が６つの面のうち２つの面の選び方、
上下の面の選び方が５つの面のうち２つの面の選び方
になっているので、
　　６×５/（２×１）×６×５/（２×１）×５×４/（２×１）
　＝２２５０個
となります。
立方体の個数は、大きさで分類して、立方体の右下手前の角を
数えます。
（はじめ、問題文の図の左上奥の角に立方体を配置し、右下手前
の角を動かすという感じです）
　　５×５×４
　＋４×４×３
　＋３×３×２
　＋２×２×１
　＝１７０個
となります（縦に並べると、規則性がわかりますね）。